2次関数の問題

手順1：1つ目の不等式を解く

$x^2-4x>0$ の左辺を因数分解すると $x(x-4)>0$ となります。

$y=x(x-4)$ のグラフは $x=0,4$ で $x$ 軸と交わる下に凸の放物線です。$y>0$ となるのは 2 つの交点の外側なので、
$$x<0,4<x(1)$$

手順2：文字 $a$ を含む2つ目の不等式を解く

$x^2-(a-1)x-a$ は、かけて $-a$、たして $-(a-1)=1-a$ となる 2 数 $1$ と $-a$ を使って
$$x^2-(a-1)x-a=(x+1)(x-a)$$
と因数分解できます。よって不等式は $(x+1)(x-a)\leqq 0$ です。

$a>4$ なので $-1<a$ です。$y=(x+1)(x-a)$ のグラフは $x=-1,a$ で $x$ 軸と交わる下に凸の放物線なので、$y\leqq 0$ となるのは 2 つの交点の間（端を含む）です。
$$-1\leqq x\leqq a(2)$$

手順3：数直線で共通部分をとる

$(1)$ と $(2)$ を数直線に表します。$a>4$ なので、共通部分は
$$-1\leqq x<0,4<x\leqq a$$
です。

手順4：整数の個数を数える

• $-1\leqq x<0$ に含まれる整数は $x=-1$ の $1$ 個です。
• よって、$4<x\leqq a$ に含まれる整数がちょうど $2$ 個であればよいことになります。

$4<x\leqq a$ に含まれる整数は、小さい順に $5,6,7,\cdots$ です。これがちょうど $5,6$ の $2$ 個になる条件を、端点に注意して考えます。

• $6$ を含む必要があるので $a\geqq 6$ です（$a=6$ のときは $x=6$ が含まれるので、等号はよい）。
• $7$ を含んではいけないので $a<7$ です（$a=7$ のときは $x=7$ が含まれてしまうので、等号はつかない）。

以上より、求める範囲は
$$6\leqq a<7$$
これは $a>4$ を満たしています。

第1式は $x(x-4)>0$ より $x<0,4<x$。第2式は $(x-a)(x+1)\leqq 0$ で、$a>4>-1$ なので $-1\leqq x\leqq a$。
共通部分は $-1\leqq x<0$ と $4<x\leqq a$。
$-1\leqq x<0$ を満たす整数は $x=-1$ の1個だけ。
$4<x\leqq a$ を満たす整数が $5,6,\dots$ と続くので、全体でちょうど3個にするには、ここに整数がちょうど2個、つまり $x=5,6$ だけ含まれればよい。
そのための条件は $6\leqq a<7$。
検算：$a=6$ のとき整数解は $-1,5,6$ の3個。$a=6.9$ のときも同じ3個。$a=7$ のときは $-1,5,6,7$ の4個で不適。$a<6$ のときは $-1,5$ の2個で不適。
よって $6\leqq a<7$。