2次関数の問題

不等式 $(1)$ を解く

$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)<0$ より、解は $1<x<5$ である。この範囲を $A$ とする。

不等式 $(2)$ を解く

$x^2-2ax+a^2-1=(x-a{)}^2-1=(x-a+1)(x-a-1)$ である。$a-1<a+1$ なので、$(2)$ の解は $a-1\leqq x\leqq a+1$ である。この範囲を $B$ とする。

条件の言い換え

求める条件は、次の $2$ つがともに成り立つことである。

• (ア) $B$ の中に $A$ に属する $x$ がある。つまり $A$ と $B$ に共通部分がある。
• (イ) $B$ の中に $A$ に属さない $x$ がある。つまり $B$ が $A$ に含まれない。

(ア) の条件

$A$ と $B$ が共通部分をもたないのは、$B$ が $A$ の左側にある場合 $a+1\leqq 1$、または右側にある場合 $a-1\geqq 5$ である。$A$ の端点 $1,5$ は $A$ に含まれないので、等号のときも共通部分はない。

したがって、共通部分をもつ条件は $a+1>1$ かつ $a-1<5$、すなわち
$$0<a<6$$
である。

(イ) の条件

$B\subset A$ となるのは、$B$ の両端 $a-1,a+1$ がともに $A$ に入るとき、すなわち $1<a-1$ かつ $a+1<5$ のときである。これを解くと $2<a<4$ である。

したがって、$B$ が $A$ に含まれない条件は
$$a\leqq 2\text{または}a\geqq 4$$
である。

(ア) と (イ) を合わせる

$0<a<6$ と「$a\leqq 2$ または $a\geqq 4$」の共通部分を考えて
$$0<a\leqq 2,4\leqq a<6$$
となる。

端点の確認

• $a=2$ のとき $B$ は $1\leqq x\leqq 3$ である。$x=2$ は $(1)$ を満たし、$x=1$ は満たさないので適する。
• $a=4$ のとき $B$ は $3\leqq x\leqq 5$ である。同様に適する。
• $a=0$ のとき $B$ は $-1\leqq x\leqq 1$ で、$(1)$ を満たす $x$ がないので不適である。
• $a=6$ のとき $B$ は $5\leqq x\leqq 7$ で、同様に不適である。

よって、求める範囲は $0<a\leqq 2,4\leqq a<6$ である。

(1) は $(x-1)(x-5)<0$ より $1<x<5$。(2) は $(x-a{)}^2\leqq 1$ より $a-1\leqq x\leqq a+1$。
集合 $A=(1,5)$、$B=[a-1,a+1]$ とする。条件は「$B\cap A\ne \varnothing$ かつ $B\not\subset A$」。

(i) $B\cap A\ne \varnothing$：$B$ は長さ 2 の閉区間。$a+1>1$ かつ $a-1<5$ なので $0<a<6$。
(端の確認：$a=0$ のとき $B=[-1,1]$ で $A$ と共通部分なし。$a=6$ のとき $B=[5,7]$ で共通部分なし。)

(ii) $B\subset A$：$a-1>1$ かつ $a+1<5$ なので $2<a<4$。
(端の確認：$a=2$ のとき $B=[1,3]$ で $x=1$ は $A$ に含まれないので $B\not\subset A$。$a=4$ のとき $B=[3,5]$ で $x=5$ が含まれず、やはり $B\not\subset A$。)

求める範囲は $0<a<6$ から $2<a<4$ を除いたもの、すなわち $0<a\leqq 2$ または $4\leqq a<6$。

検算：$a=2$ のとき $B=[1,3]$ で、$x=2$ は (1) を満たし、$x=1$ は満たさないので適する。$a=3$ のとき $B=[2,4]\subset A$ なので不適。$a=4$ のとき $B=[3,5]$ で、$x=4$ は (1) を満たし、$x=5$ は満たさないので適する。$a=0$ のとき不適、$a=6$ のとき不適。