数と式の問題

連立不等式は $\frac{5n}{17}<x<\frac{3n}{10}$ と同じである。この区間の幅は $\frac{3n}{10}-\frac{5n}{17}=\frac{n}{170}$ なので、$n$ が大きければ整数を含むが、どの $n$ で含まないかは区間を見ただけではわからない。

鍵: 変数の置きかえ　整数 $x$ と正の整数 $n$ に対して
$$a=3n-10x,b=17x-5n$$
とおく。連立不等式は「$a>0$ かつ $b>0$」と同じであり、$a,b$ は整数である。逆に解くと
$$5a+3b=15n-50x+51x-15n=x,17a+10b=51n-170x+170x-50n=n$$
となる。つまり
$$x=5a+3b,n=17a+10b.$$
したがって、整数の組 $(x,n)$ で連立不等式を満たすものと、正の整数の組 $(a,b)$ とは 1 対 1 に対応する。よって
$$\text{整数解 }x\text{ が存在する}⟺n=17a+10b\text{ となる正の整数 }a,b\text{ が存在する}.$$

$a=a^{\prime }+1,b=b^{\prime }+1$ とおくと $n=27+17a^{\prime }+10b^{\prime }$（$a^{\prime },b^{\prime }$ は $0$ 以上の整数）なので、整数解が存在しない $n$ は
- (ア) $1\leqq n\leqq 26$ の $26$ 個
- (イ) $n=27+N$ で、$N$ が $0$ 以上の整数で $17a^{\prime }+10b^{\prime }$（$a^{\prime },b^{\prime }\geqq 0$ の整数）の形に表せないもの

である。

(イ) の個数　$17a^{\prime }$ を $10$ で割った余りは $7a^{\prime }$ を $10$ で割った余りと同じで、$a^{\prime }=0,1,\dots ,9$ に対して余りは $0,7,4,1,8,5,2,9,6,3$ とすべて異なる。$10$ で割った余りが $r$ の $0$ 以上の整数 $N$ について、その余りを与える $a^{\prime }$（$0\leqq a^{\prime }\leqq 9$）をとると、
- $N\geqq 17a^{\prime }$ なら $N=17a^{\prime }+10b^{\prime }$（$b^{\prime }\geqq 0$）と表せる
- $N<17a^{\prime }$ なら表せない（余りが $r$ になる $a^{\prime \prime }$ は $a^{\prime \prime }\equiv a^{\prime }(\mathrm{mod}10)$、$a^{\prime \prime }\geqq a^{\prime }$ なので $17a^{\prime \prime }\geqq 17a^{\prime }>N$ となる）

よって表せない $N$ は $17a^{\prime }-10,17a^{\prime }-20,\dots$ のうち $0$ 以上のもので、その個数は $17a^{\prime }$ を $10$ で割った商に等しい。$a^{\prime }=0,1,\dots ,9$ について $17a^{\prime }=0,17,34,51,68,85,102,119,136,153$ なので、商の和は
$$0+1+3+5+6+8+10+11+13+15=72.$$
よって (イ) は $72$ 個である（これらの $N$ は $1$ 以上なので (ア) と重ならない）。

以上より、求める個数は $26+72=98$ である。

（確認: $n=10$ のとき $2.94\cdots <x<3$ で整数解なし。$n=27$ のとき $7.94\cdots <x<8.1$ で $x=8$。最大の $n$ は $N=153-10=143$ に対応する $n=170$ で、このとき $50<x<51$ となり確かに整数解がない。）

連立不等式は $\frac{5n}{17}<x<\frac{3n}{10}$ すなわち $\frac{5}{17}<\frac{x}{n}<\frac{3}{10}$。

$3\cdot 17-5\cdot 10=1$ なので $\frac{5}{17}$ と $\frac{3}{10}$ はファレイ数列で隣り合う分数である。このとき、この 2 数の間にある分数 $\frac{x}{n}$（約分前でもよい）は、ある正の整数 $p,q$ を用いて
$$x=5p+3q,n=17p+10q$$
と書ける（実際、$17x-5n=17(5p+3q)-5(17p+10q)=q$、$3n-10x=3(17p+10q)-10(5p+3q)=p$ で、$p=3n-10x>0$、$q=17x-5n>0$ はそれぞれ与えられた不等式そのものであり、整数 $p,q$ が $x,n$ から一意に決まる）。逆に正の整数 $p,q$ に対して $x=5p+3q$, $n=17p+10q$ とすれば不等式を満たす。

したがって条件を満たす整数 $x$ が存在するような $n$ は、$n=17p+10q$（$p,q\ge 1$）と表せる $n$、すなわち $n=27+(17p^{\prime }+10q^{\prime })$（$p^{\prime },q^{\prime }\ge 0$）と表せる $n$ である。

求めるのはこのように表せない正の整数 $n$ の個数。
- $n\le 26$ は $n<27$ なので表せない：$26$ 個。
- $n\ge 27$ のとき、$n-27=m$ が $17p^{\prime }+10q^{\prime }$（$p^{\prime },q^{\prime }\ge 0$）で表せない $m\ge 1$ の個数。互いに素な $10,17$ に対し、表せない正の整数の個数は $\frac{(10-1)(17-1)}{2}=72$ 個（最大は $10\cdot 17-10-17=143$）。

よって $26+72=98$ 個。

検算: 最大の $n$ は $27+143=170$ で、$n=170$ のとき $50<x<51$ に整数はなく条件を満たす。$n>170$ では区間の長さ $\frac{n}{170}>1$ で整数を含む。$n=10$ のとき $2.94<x<3$ で整数なし、$n=27$ のとき $\frac{135}{17}=7.94<x<8.1$ で $x=8$ が存在する。いずれも上の結論と合う。