数と式の問題

絶対値の中の式 $x+1$, $x-3$ の符号が変わるのは、それぞれ $x=-1$, $x=3$ のときです。そこで $x$ の範囲を $x<-1$, $-1\leqq x<3$, $3\leqq x$ の 3 つに分けて絶対値をはずします。

(1) $x<-1$ のとき

$x+1<0$, $x-3<0$ なので $|x+1|=-(x+1)$, $|x-3|=-(x-3)$ です。方程式は
$$-(x+1)-(x-3)=6$$
$$-2x+2=6$$
$$x=-2$$
となります。$x=-2$ は $x<-1$ を満たすので解です。

(2) $-1\leqq x<3$ のとき

$x+1\geqq 0$, $x-3<0$ なので $|x+1|=x+1$, $|x-3|=-(x-3)$ です。方程式は
$$(x+1)-(x-3)=6$$
$$4=6$$
となり、これは成り立ちません。よって、この範囲に解はありません。

(3) $3\leqq x$ のとき

$x+1>0$, $x-3\geqq 0$ なので $|x+1|=x+1$, $|x-3|=x-3$ です。方程式は
$$(x+1)+(x-3)=6$$
$$2x-2=6$$
$$x=4$$
となります。$x=4$ は $3\leqq x$ を満たすので解です。

(1)〜(3) をまとめて、求める解は $x=-2,4$ です。

（確かめ：$x=-2$ のとき $|-1|+|-5|=1+5=6$、$x=4$ のとき $|5|+|1|=5+1=6$ で、どちらも成り立ちます。）

絶対値の中の符号で場合分けする。

(i) $x<-1$ のとき: $|x+1|=-(x+1)$, $|x-3|=-(x-3)$ なので、$-(x+1)-(x-3)=-2x+2=6$ より $x=-2$。これは $x<-1$ を満たす。

(ii) $-1\le x<3$ のとき: $(x+1)-(x-3)=4$ となり $4=6$ は成り立たない。解なし。

(iii) $x\ge 3$ のとき: $(x+1)+(x-3)=2x-2=6$ より $x=4$。これは $x\ge 3$ を満たす。

検算: $x=-2$ のとき $|-1|+|-5|=1+5=6$。$x=4$ のとき $5+1=6$。いずれも成り立つ。

よって解は $x=-2,4$。