数と式の問題

絶対値の中の式が $0$ になる $x$ の値で、$x$ の範囲を分けます。

$x-1=0$ となるのは $x=1$、$x+3=0$ となるのは $x=-3$ です。そこで、$x<-3$、$-3\leqq x<1$、$x\geqq 1$ の 3 つの場合に分けます。

絶対値は、中の式が $0$ 以上ならそのままはずし、負なら $-1$ をかけてはずします。
$$|A|=\{\begin{array}{ll}A& (A\geqq 0)\\ -A& (A<0)\end{array}$$

(i) $x<-3$ のとき

$x-1<0$, $x+3<0$ なので $|x-1|=-(x-1)$, $|x+3|=-(x+3)$ です。方程式は
$$-(x-1)-(x+3)=6$$
$$-2x-2=6$$
$$-2x=8$$
$$x=-4$$
となります。$x=-4$ は $x<-3$ を満たすので解です。

(ii) $-3\leqq x<1$ のとき

$x-1<0$, $x+3\geqq 0$ なので $|x-1|=-(x-1)$, $|x+3|=x+3$ です。方程式は
$$-(x-1)+(x+3)=6$$
$$4=6$$
となり、これは成り立ちません。よって、この範囲に解はありません。

(iii) $x\geqq 1$ のとき

$x-1\geqq 0$, $x+3>0$ なので $|x-1|=x-1$, $|x+3|=x+3$ です。方程式は
$$(x-1)+(x+3)=6$$
$$2x+2=6$$
$$x=2$$
となります。$x=2$ は $x\geqq 1$ を満たすので解です。

(i)〜(iii) をまとめると、解は $x=-4,2$ です。

（確かめ：$x=-4$ のとき $|-5|+|-1|=6$、$x=2$ のとき $|1|+|5|=6$ となり、どちらも成り立ちます。）

場合分けをする。
(i) $x\ge 1$ のとき: $(x-1)+(x+3)=2x+2=6$ より $x=2$。これは $x\ge 1$ を満たす。
(ii) $-3\le x<1$ のとき: $-(x-1)+(x+3)=4$ となり、$4=6$ は成り立たない。解なし。
(iii) $x<-3$ のとき: $-(x-1)-(x+3)=-2x-2=6$ より $x=-4$。これは $x<-3$ を満たす。

検算: $x=2$ のとき $|1|+|5|=6$、$x=-4$ のとき $|-5|+|-1|=6$。ともに成り立つ。

よって解は $x=2,-4$。