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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。式 $(2 x + 3)^{3}$ を展開したとき、 $x^{2}$ の係数を求めよ。

この問題で使うもの

3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

3 乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ を使います。

ヒント 2

$a = 2 x, b = 3$ とおくと、 $x^{2}$ を含むのは $3 a^{2} b$ の項です。

ヒント 3

$3 a^{2} b = 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3$ を計算します。 $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ です。

答えと解説

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36

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解説を読む

3 乗の展開公式
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
を使います。

手順 1： $a$ と $b$ にあたるものを決める。
$(2 x + 3)^{3}$ では、 $a = 2 x, b = 3$ です。

手順 2：公式に代入する。
$(2 x + 3)^{3} = (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} + 3^{3}$

手順 3：各項を計算する。
- $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
- $3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$
- $3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 9 = 54 x$
- $3^{3} = 27$

よって
$(2 x + 3)^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$

手順 4： $x^{2}$ の係数を読み取る。
$x^{2}$ を含む項は $36 x^{2}$ だけなので、求める係数は $36$ です。

別解

二項定理より $(2 x + 3)^{3} = \sum_{k = 0}^{3}_{3} C_{k} (2 x)^{k} 3^{3 - k}$ 。 $x^{2}$ の項は $k = 2$ のときで、 $_{3} C_{2} \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$ 。したがって係数は $36$ 。検算： $(2 x + 3)^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$ 。 $x = 1$ を代入すると左辺 $125$ 、右辺 $8 + 36 + 54 + 27 = 125$ で一致する。

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