数と式の問題

方針 2 次の項だけを先に因数分解し、もとの式を 1 次式の積の形とおいて係数を比べる。

手順 1：2 次の部分を因数分解する
2 次の項だけを取り出すと、たすき掛けにより
$$2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$$
となる。

手順 2：もとの式を積の形とおく
もとの式が 1 次式 2 つの積に因数分解できるとき、その積を展開した 2 次の項は $(2x-y)(x+2y)$ と一致する。そこで、$p,q$ を定数として
$$2x^2+3xy-2y^2+7x-y+a=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
とおける。

手順 3：右辺を展開する
$$\begin{array}{rl}(2x-y+p)(x+2y+q)& =2x^2+4xy+2qx-xy-2y^2-qy+px+2py+pq\\ & =2x^2+3xy-2y^2+(p+2q)x+(2p-q)y+pq\end{array}$$

手順 4：係数を比べる
$x$ の係数、$y$ の係数、定数項を比べると
$$p+2q=7(1)$$
$$2p-q=-1(2)$$
$$pq=a(3)$$
$(2)$ より $q=2p+1$ である。これを $(1)$ に代入すると
$$p+2(2p+1)=7$$
$$5p=5$$
となり、$p=1$、$q=2\cdot 1+1=3$ である。
$(3)$ より $a=pq=1\cdot 3=3$ である。

確かめ
$$(2x-y+1)(x+2y+3)=2x^2+3xy-2y^2+7x-y+3$$
となり、確かにもとの式（$a=3$）と一致する。

（別解）判別式を使う方法
もとの式を $x$ について整理すると
$$2x^2+(3y+7)x+(-2y^2-y+a)$$
となる。これが $x,y$ の 1 次式の積に因数分解できるのは、$x$ の 2 次方程式とみたときの判別式 $D$ が $y$ の完全平方式になるときである。
$$\begin{array}{rl}D& =(3y+7{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2y^2-y+a)\\ & =9y^2+42y+49+16y^2+8y-8a\\ & =25y^2+50y+49-8a\end{array}$$
$D$ が $y$ の完全平方式になるのは、$y$ の 2 次方程式 $D=0$ が重解をもつときである。その判別式を 4 で割ったものについて
$$25^2-25(49-8a)=0$$
$$25=49-8a$$
となり、$a=3$ である。このとき $D=25(y+1{)}^2$ となる。

よって、答えは $a=3$ である。

2次の部分は $2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$ と因数分解できる。したがって
$$2x^2+3xy-2y^2+7x-y+a=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
と置ける。右辺を展開すると
$$2x^2+3xy-2y^2+(2q+p)x+(-q+2p)y+pq$$
となる。係数を比較して
$2q+p=7$, $-q+2p=-1$, $pq=a$。
第2式より $q=2p+1$。これを第1式に代入すると $4p+2+p=7$ より $p=1$、したがって $q=3$。
よって $a=pq=3$。

検算: $(2x-y+1)(x+2y+3)$ を展開する。
$2x^2+4xy+6x-xy-2y^2-3y+x+2y+3=2x^2+3xy-2y^2+7x-y+3$ となり、元の式と一致する。

別解として、$x$ についての2次方程式の判別式が $y$ の完全平方式になる条件から求めても同じ結果になる。

以上より $a=3$。