数と式の問題

手順 1：2 次の部分を因数分解する。

2 次の項だけを取り出すと、たすき掛けにより
$$2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$$
となります。

手順 2：もとの式の形をおく。

もとの式が 1 次式 2 つの積に因数分解できるとき、2 次の部分が $(2x-y)(x+2y)$ なので、実数 $p,q$ を用いて
$$2x^2+3xy-2y^2-x+8y+a=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
と表せます。

手順 3：右辺を展開する。
$$\begin{array}{rl}(2x-y+p)(x+2y+q)& =2x^2+4xy+2qx-xy-2y^2-qy+px+2py+pq\\ & =2x^2+3xy-2y^2+(p+2q)x+(2p-q)y+pq\end{array}$$

手順 4：係数を比べる。

$x$ の係数、$y$ の係数、定数項を比べると
$$p+2q=-1(1)$$
$$2p-q=8(2)$$
$$pq=a(3)$$

$(2)$ より $q=2p-8$。これを $(1)$ に代入すると
$$p+2(2p-8)=-1\text{より}5p=15\text{よって}p=3$$
したがって $q=2\cdot 3-8=-2$。

$(3)$ より
$$a=pq=3\cdot (-2)=-6$$

確かめ： $a=-6$ のとき
$$(2x-y+3)(x+2y-2)=2x^2+3xy-2y^2-x+8y-6$$
となり、確かに 1 次式の積に因数分解できます。

よって $a=-6$ です。

2次の項は $2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$ と因数分解できる。そこで与式が
$(2x-y+p)(x+2y+q)$
と因数分解できるとして、$p,q$ を定数とおく。

右辺を展開すると
$2x^2+3xy-2y^2+(2q+p)x+(2p-q)y+pq$
となる。

与式と係数を比べると
$2q+p=-1$、$2p-q=8$、$pq=a$
を得る。

第1式から $p=-1-2q$ である。これを第2式に代入すると $-2-4q-q=8$ となり、$q=-2$、$p=3$ を得る。
よって $a=pq=-6$ である。

検算として $(2x-y+3)(x+2y-2)$ を展開する。
$2x^2+4xy-4x-xy-2y^2+2y+3x+6y-6=2x^2+3xy-2y^2-x+8y-6$
となり、与式で $a=-6$ とした式に一致する。

2次の項の因数 $(2x-y)$ と $(x+2y)$ の組は上の形に限られる（定数倍の振り分けは $p,q$ に吸収される）ので、$a$ の値は一意に定まる。

答え：$a=-6$