数と式の問題

まず 2 次の項だけを因数分解すると
$$2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$$
となる。与式が 1 次式の積に因数分解できるとき、2 つの 1 次式の 2 次の部分（$x,y$ の項）の積は $(2x-y)(x+2y)$ に一致しなければならない。定数倍は一方の因数にまとめられるので、実数 $p,q$ を用いて
$$2x^2+3xy-2y^2+5x+ay-3=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
と表せる。右辺を展開すると
$$(2x-y+p)(x+2y+q)=2x^2+3xy-2y^2+(2q+p)x+(2p-q)y+pq$$
となる。両辺の係数を比較して
$$2q+p=5,2p-q=a,pq=-3$$
を得る。

1 つ目の式から $p=5-2q$ である。これを 3 つ目の式に代入すると
$$(5-2q)q=-3$$
$$2q^2-5q-3=0$$
$$(q-3)(2q+1)=0$$
よって $q=3$ または $q=-\frac{1}{2}$ である。

(i) $q=3$ のとき、$p=5-6=-1$ なので
$$a=2p-q=-2-3=-5$$
このとき与式は $(2x-y-1)(x+2y+3)$ となる。

(ii) $q=-\frac{1}{2}$ のとき、$p=5+1=6$ なので
$$a=2p-q=12+\frac{1}{2}=\frac{25}{2}$$
このとき与式は $(2x-y+6)\left(x+2y-\frac{1}{2}\right)$ となる。

(確認) 与式を $x$ の 2 次式とみると
$$2x^2+(3y+5)x+(-2y^2+ay-3)$$
である。その判別式は
$$D=(3y+5{)}^2-8(-2y^2+ay-3)=25y^2+(30-8a)y+49$$
となる。与式が 1 次式の積になるのは、$D$ が $y$ の 1 次式の 2 乗になるときである。$D$ の $y^2$ の係数は $25>0$ なので、その条件は $D$ を $y$ の 2 次式とみた判別式が 0 になることである。
$$(30-8a{)}^2-4\cdot 25\cdot 49=0$$
$$30-8a=\pm 70$$
これより $a=-5$ または $a=\frac{25}{2}$ となり、上の結果と一致する。

以上より、求める $a$ の値は $a=-5,\frac{25}{2}$ である。

2次の項は $2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$ と因数分解できる。よって求める因数分解は定数 $p,q$ を用いて $(2x-y+p)(x+2y+q)$ の形になる。

展開すると
$(2x-y+p)(x+2y+q)=2x^2+3xy-2y^2+(2q+p)x+(2p-q)y+pq$

係数を比較して
$2q+p=5,2p-q=a,pq=-3$

$p=5-2q$ を $pq=-3$ に代入すると $(5-2q)q=-3$ より $2q^2-5q-3=0$、すなわち $(2q+1)(q-3)=0$。

• $q=3$ のとき $p=-1$ で、$a=2(-1)-3=-5$
• $q=-\frac{1}{2}$ のとき $p=6$ で、$a=12+\frac{1}{2}=\frac{25}{2}$

検算:
- $a=-5$ のとき $(2x-y-1)(x+2y+3)$ を展開すると、$x$ の係数は $6-1=5$、$y$ の係数は $-3-2=-5$、定数項は $-3$ となり一致する。
- $a=\frac{25}{2}$ のとき $(2x-y+6)(x+2y-\frac{1}{2})$ を展開すると、$x$ の係数は $-1+6=5$、$y$ の係数は $\frac{1}{2}+12=\frac{25}{2}$、定数項は $-3$ となり一致する。

よって $a=-5,\frac{25}{2}$。