数と式の問題

与えられた式を $P$ とおき、$x$ について整理する。
$$P=x^2+(3y-2)x+(2y^2-5y+k)$$

$P$ が $x,y$ の $1$ 次式の積
$$P=(x+py+q)(x+ry+s)$$
に因数分解できるとする（$x^2$ の係数が $1$ なので、各因数の $x$ の係数は $1$ にそろえてよい）。このとき、$x$ の $2$ 次方程式 $P=0$ の解は $x=-py-q,-ry-s$ であり、どちらも $y$ の $1$ 次式（または定数）である。

解の公式より
$$x=\frac{-(3y-2)\pm \sqrt{D}}{2}$$
であり、判別式 $D$ は
$$\begin{array}{rl}D& =(3y-2{)}^2-4(2y^2-5y+k)\\ & =9y^2-12y+4-8y^2+20y-4k\\ & =y^2+8y+4-4k\end{array}$$
となる。解が $y$ の $1$ 次式になるためには、$\sqrt{D}$ の根号が外れること、すなわち $D$ が $y$ の $1$ 次式の $2$ 乗（完全平方式）であることが必要十分である。

$D=y^2+8y+4-4k$ が完全平方式となる条件は、$y$ の $2$ 次方程式 $D=0$ の判別式が $0$ になることである。
$$\frac{(\text{判別式})}{4}=4^2-(4-4k)=12+4k=0$$
よって $k=-3$ である。

（確認）$k=-3$ のとき $D=y^2+8y+16=(y+4{)}^2$ となるので
$$x=\frac{-(3y-2)\pm (y+4)}{2}$$
より $x=-y+3,-2y-1$ である。したがって
$$P=(x+y-3)(x+2y+1)$$
となる。実際に展開すると
$$\begin{array}{rl}(x+y-3)(x+2y+1)& =x^2+2xy+x+xy+2y^2+y-3x-6y-3\\ & =x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3\end{array}$$
となり、もとの式と一致する。

（別解）$2$ 次の項について $x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)$ である。$1$ 次式の積の $2$ 次の部分は、各因数の $1$ 次の部分どうしの積になるから、
$$P=(x+y+a)(x+2y+b)$$
とおける。右辺を展開すると
$$x^2+3xy+2y^2+(a+b)x+(2a+b)y+ab$$
となる。係数を比較して
$$a+b=-2,2a+b=-5,ab=k$$
を得る。第 $2$ 式から第 $1$ 式を引くと $a=-3$、これより $b=1$ となる。よって $k=ab=-3$ である。

答え：$k=-3$

$x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)$ なので、与式が因数分解できるなら $(x+y+a)(x+2y+b)$ の形になる。展開すると $x^2+3xy+2y^2+(a+b)x+(2a+b)y+ab$ となる。係数を比べて、$a+b=-2$、$2a+b=-5$、$ab=k$。第1式と第2式から $a=-3,b=1$ が得られ、$k=ab=-3$。検算として $(x+y-3)(x+2y+1)$ を展開すると $x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3$ となり、$k=-3$ のとき与式と一致する。