2 文字の 2 次式の因数分解

$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 5 x + 5 y + 3$ のような式を 1 つの文字について整理し、たすき掛けを使って $(2 x - y + 3) (x + 2 y + 1)$ のように $x, y$ の 1 次式の積に因数分解できる

前提

3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

説明

$x$ と $y$ の 2 つの文字を含む 2 次式を、 $x, y$ の 1 次式どうしの積に因数分解できるようになります。ここでは $1$ つの文字（たとえば $x$ ）について式を整理し、もう一方の文字 $y$ を数のように扱います。こうすると、見慣れた「 $x$ の 2 次式のたすき掛け」に持ち込めます。連立方程式や図形の式を簡単にする場面、方程式を解く場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

たすき掛けは、展開の式 $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ を逆向きに読んだものです。この式は $b, d$ がただの数でも、 $y$ を含む式でも同じように成り立ちます。展開の計算では、 $b, d$ が数であることを一度も使っていないからです。

そこで、 $y$ を「中身のわからない定数」とみなし、式を $x$ について降べきの順に整理します。すると $(x^{2} の係数) x^{2} + (y の 1 次式) x + (y の 2 次式)$ の形になります。定数項にあたる $y$ の 2 次式は、ふつうのたすき掛けで $(y の 1 次式) \times (y の 1 次式)$ に分けられます。その 2 つを $b, d$ の候補にして、もう一度たすき掛けをし、 $a d + b c$ が $x$ の係数に一致する組み合わせを探します。

つまり、たすき掛けを 2 回使う方法です。1 回目は定数項（ $y$ の 2 次式）を分解するため、2 回目は $x$ の 2 次式全体を分解するために使います。最後に展開して元の式に戻ることを確かめれば、答えが正しいとわかります。

手順

1 つの文字（ここでは $x$ ）について降べきの順に整理する: $p x^{2} + (y の式) x + (y の式)$ の形にする。 $x$ を含まない項はすべて定数項にまとめる
定数項（ $y$ の 2 次式）を、たすき掛けで $y$ の 1 次式 2 つの積に因数分解する
$x^{2}$ の係数 $p = a c$ の分け方と、定数項の 2 つの因数 $b, d$ を組み合わせてたすき掛けをし、 $a d + b c$ が $x$ の係数（ $y$ の 1 次式）に一致する組を見つける
見つけた組で $(a x + b) (c x + d)$ と書き、展開して元の式に戻ることを確かめる

例題

$2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x - y - 1$ を因数分解せよ。

例題の解答

【手順1】 $x$ について整理します。 $x^{2}$ の項は $2 x^{2}$ 、 $x$ の項は $5 x y + x = (5 y + 1) x$ 、 $x$ を含まない項は $2 y^{2} - y - 1$ です。よって、与式 $= 2 x^{2} + (5 y + 1) x + (2 y^{2} - y - 1)$ となります。
【手順2】定数項 $2 y^{2} - y - 1$ をたすき掛けで分解します。 $2 \cdot 1 = 2$ 、 $1 \cdot (- 1) = - 1$ で、 $2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 = - 1$ となり $y$ の係数に一致します。よって $2 y^{2} - y - 1 = (2 y + 1) (y - 1)$ です。
【手順3】 $2 x^{2} = 2 x \cdot x$ と分け、 $2 y + 1$ と $y - 1$ をどちらに組み合わせるか調べます。
・ $(2 x + (2 y + 1)) (x + (y - 1))$ の場合、 $x$ の係数は $2 (y - 1) + (2 y + 1) = 4 y - 1$ となり、 $5 y + 1$ に一致しません。
・ $(2 x + (y - 1)) (x + (2 y + 1))$ の場合、 $x$ の係数は $2 (2 y + 1) + (y - 1) = 5 y + 1$ となり、一致します。
よって、与式 $= (2 x + y - 1) (x + 2 y + 1)$ です。
【手順4】展開して確かめます。 $(2 x + y - 1) (x + 2 y + 1) = 2 x^{2} + 4 x y + 2 x + x y + 2 y^{2} + y - x - 2 y - 1 = 2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x - y - 1$ となり、元の式に一致します。

答え: $(2 x + y - 1) (x + 2 y + 1)$

よくある誤り

$x$ の係数をまとめるときに、 $y$ を含まない項を落としてしまう誤り。 $5 x y + x$ を $5 y x$ としてはいけません。正しくは $(5 y + 1) x$ です。
定数項の分解で符号を誤る誤り。 $2 y^{2} - y - 1 = (2 y - 1) (y + 1)$ としてしまうと、展開したとき $2 y^{2} + y - 1$ になります。正しくは $(2 y + 1) (y - 1)$ です。
$x^{2}$ の係数が $1$ でないときに、因数の組み合わせを確かめずに決めてしまう誤り。 $(2 x + 2 y + 1) (x + y - 1)$ では $x$ の係数が $4 y - 1$ になります。正しくは $x$ の係数が $5 y + 1$ になる $(2 x + y - 1) (x + 2 y + 1)$ です。
1 回目のたすき掛けで止めてしまい、 $2 x^{2} + (5 y + 1) x + (2 y + 1) (y - 1)$ を答えにする誤り。これは積の形ではありません。正しくは 2 回目のたすき掛けまで行い、 $(2 x + y - 1) (x + 2 y + 1)$ と $1$ 次式の積にします。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

1 次式の積に因数分解できる条件（数学I 数と式）