数と式の問題

手順 1：$x$ について整理する

$x^2$ の係数が $2$、$y^2$ の係数が $-1$ です。ここでは $x$ について降べきの順に整理します。$y$ は定数とみなします。
$$2x^2-xy-y^2+3x+3y-2=2x^2+(3-y)x-(y^2-3y+2)$$

手順 2：定数項（$x$ を含まない部分）を因数分解する

$$y^2-3y+2=(y-1)(y-2)$$
したがって、もとの式は次のようになります。
$$2x^2+(3-y)x-(y-1)(y-2)$$

手順 3：たすき掛けをする

$(2x+p)(x+q)$ の形を考えます。展開すると $2x^2+(2q+p)x+pq$ です。そこで、次の 2 つを満たす $p,q$ を探します。
- $pq=-(y-1)(y-2)$
- $2q+p=3-y$

$p=y-1,q=-(y-2)$ とすると、
$$2q+p=-2y+4+y-1=-y+3$$
となり、$x$ の係数 $3-y$ に一致します。

たすき掛けの図は次のとおりです。
$$\begin{array}{ccc}2& y-1& \to y-1\\ 1& -(y-2)& \to -2y+4\\ & & -y+3\end{array}$$

手順 4：まとめる

$$2x^2-xy-y^2+3x+3y-2=(2x+y-1)\{x-(y-2)\}=(2x+y-1)(x-y+2)$$

確認

展開すると $2x^2-2xy+4x+xy-y^2+2y-x+y-2=2x^2-xy-y^2+3x+3y-2$ となり、もとの式に一致します。

答え：$(2x+y-1)(x-y+2)$

2次の項を因数分解すると $2x^2-xy-y^2=(2x+y)(x-y)$。そこで $(2x+y+a)(x-y+b)$ とおいて係数を比べる。
$x$ の係数: $2b+a=3$、$y$ の係数: $b-a=3$、定数項: $ab=-2$。
最初の2式を足すと $3b=6$ より $b=2$、$a=-1$。このとき $ab=-2$ で3つ目も成り立つ。
検算: $(2x+y-1)(x-y+2)=2x^2-2xy+4x+xy-y^2+2y-x+y-2=2x^2-xy-y^2+3x+3y-2$ となり、元の式と一致する。
よって $(2x+y-1)(x-y+2)$。