数と式の問題

方針：2 文字の 2 次式は、1 つの文字について整理してから因数分解します。ここでは $x$ について整理します。

手順 1：$x$ について整理する

$x^2$ の項、$x$ を含む項、$x$ を含まない項に分けます。
$$x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3=x^2+(3y+2)x+(2y^2+5y-3)$$

手順 2：定数項（$x$ を含まない部分）を因数分解する

$2y^2+5y-3$ をたすき掛けで因数分解します。積が $2$ になる $2$ と $1$、積が $-3$ になる $-1$ と $3$ を組み合わせると
$$2\times 3+1\times (-1)=6-1=5$$
となり、$y$ の係数 $5$ に一致します。よって
$$2y^2+5y-3=(2y-1)(y+3)$$

手順 3：全体を $x$ の 2 次式とみて因数分解する

式は $x^2+(3y+2)x+(2y-1)(y+3)$ となります。$x^2$ の係数は $1$ なので、足して $3y+2$、掛けて $(2y-1)(y+3)$ となる 2 つの式を探します。
$$(2y-1)+(y+3)=3y+2$$
となるので、
$$x^2+(3y+2)x+(2y-1)(y+3)=\{x+(2y-1)\}\{x+(y+3)\}$$

答え
$$(x+2y-1)(x+y+3)$$

確かめ：展開すると $x^2+xy+3x+2xy+2y^2+6y-x-y-3=x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$ となり、もとの式に一致します。

x の2次式として整理する。$x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)$。よって $(x+y+a)(x+2y+b)$ とおくと、展開して x の係数は $a+b=2$、y の係数は $2a+b=5$、定数項は $ab=-3$。これを解くと $a=3,b=-1$ で、$ab=-3$ を満たす。したがって $(x+y+3)(x+2y-1)$。検算：展開すると $x^2+2xy-x+xy+2y^2-y+3x+6y-3=x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$ となり、元の式に一致する。