数と式の問題

手順 1：1 つの文字について整理する

$x$ について降べきの順に整理します。$x$ を含まない項は、まとめて定数項とみなします。
$$x^2+xy-2y^2+2x+7y-3=x^2+(y+2)x-(2y^2-7y+3)$$

手順 2：定数項（$y$ の 2 次式）を因数分解する

たすき掛けを使います。
$$2y^2-7y+3=(2y-1)(y-3)$$
（確認：$(2y-1)(y-3)=2y^2-6y-y+3=2y^2-7y+3$）

したがって、もとの式は
$$x^2+(y+2)x-(2y-1)(y-3)$$
となります。

手順 3：$x$ の 2 次式としてたすき掛けをする

$x^2$ の係数は $1$ なので、「かけて $-(2y-1)(y-3)$、たして $y+2$」となる 2 つの式を探します。

$-(2y-1)(y-3)=(2y-1)\{-(y-3)\}=(2y-1)(-y+3)$ と分けると、
$$(2y-1)+(-y+3)=y+2$$
となり、条件に合います。よって
$$x^2+(y+2)x-(2y-1)(y-3)=\{x+(2y-1)\}\{x+(-y+3)\}$$

答え
$$(x+2y-1)(x-y+3)$$

検算
$$(x+2y-1)(x-y+3)=x^2-xy+3x+2xy-2y^2+6y-x+y-3=x^2+xy-2y^2+2x+7y-3$$
となり、もとの式に一致します。

2次の項 $x^2+xy-2y^2=(x+2y)(x-y)$ と因数分解できる。そこで与式を $(x+2y+a)(x-y+b)$ とおく。展開すると $x^2+xy-2y^2+(a+b)x+(2b-a)y+ab$ となる。係数を比べて $a+b=2$、$2b-a=7$、$ab=-3$。最初の2式から $3b=9$ より $b=3$、$a=-1$ を得る。このとき $ab=-3$ も成り立つ。よって与式 $=(x+2y-1)(x-y+3)$。検算: $(x+2y-1)(x-y+3)=x^2-xy+3x+2xy-2y^2+6y-x+y-3=x^2+xy-2y^2+2x+7y-3$ となり、与式に一致する。