数と式の問題

方針 2 次の部分 $2x^2+3xy-2y^2$ を先に因数分解し、もとの式を 1 次式の積の形でおいて係数を比べます。

手順 1：2 次の部分を因数分解する

たすき掛けにより
$$2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$$
です。

手順 2：もとの式を積の形でおく

もとの式が 1 次式の積に因数分解できるとき、その積の 2 次の部分は $(2x-y)(x+2y)$ になるので、定数 $p,q$ を用いて
$$2x^2+3xy-2y^2-x+8y+a=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
とおけます。右辺を展開すると
$$(2x-y+p)(x+2y+q)=2x^2+3xy-2y^2+(p+2q)x+(2p-q)y+pq$$
となります。

手順 3：係数を比べる

両辺の $x,y$ の係数と定数項を比べると
$$p+2q=-1(1)$$
$$2p-q=8(2)$$
$$pq=a(3)$$
$(2)$ より $q=2p-8$。これを $(1)$ に代入すると $p+2(2p-8)=-1$、すなわち $5p=15$ より $p=3$。よって $q=2\cdot 3-8=-2$。
$(3)$ より
$$a=pq=3\cdot (-2)=-6$$

確認 $(2x-y+3)(x+2y-2)$ を展開すると
$$2x^2+4xy-4x-xy-2y^2+2y+3x+6y-6=2x^2+3xy-2y^2-x+8y-6$$
となり、確かにもとの式（$a=-6$）に一致します。

（別解）判別式を使う方法

$x$ について整理すると $2x^2+(3y-1)x+(-2y^2+8y+a)$。その判別式は
$$D=(3y-1{)}^2-8(-2y^2+8y+a)=25y^2-70y+1-8a$$
1 次式の積に因数分解できるのは $D$ が $y$ の完全平方式になるときなので、$D=0$ とした $y$ の 2 次方程式の判別式が $0$ になればよく
$$\frac{D^{\prime }}{4}=(-35{)}^2-25(1-8a)=1200+200a=0$$
より $a=-6$。このとき $D=(5y-7{)}^2$ となります。

答え：$a=-6$

2次の項は $2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)$ と因数分解できる。したがって、与式が1次式の積に因数分解できるなら
$$2x^2+3xy-2y^2-x+8y+a=(2x-y+p)(x+2y+q)$$
と書ける($p,q$ は実数)。
右辺を展開すると
$$2x^2+3xy-2y^2+(p+2q)x+(2p-q)y+pq$$
となる。係数を比較して
$p+2q=-1$, $2p-q=8$, $pq=a$。
第1式から $p=-1-2q$。これを第2式に代入すると $-2-4q-q=8$ より $q=-2$。よって $p=3$。
ゆえに $a=pq=-6$。
検算:$(2x-y+3)(x+2y-2)$ を展開すると
$2x^2+4xy-4x-xy-2y^2+2y+3x+6y-6=2x^2+3xy-2y^2-x+8y-6$ となり、与式と一致する。