数と式の問題

$2$ 次の部分を因数分解すると
$$x^2+xy-2y^2=(x+2y)(x-y)$$
である。

与式が $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるとき、それぞれの $1$ 次式の $1$ 次の項どうしの積が $x^2+xy-2y^2$ になる。したがって、定数倍を調整すれば、$p,q$ を実数として
$$x^2+xy-2y^2+ax+5y-2=(x+2y+p)(x-y+q)$$
の形に書ける。

右辺を展開すると
$$\begin{array}{rl}(x+2y+p)(x-y+q)& =x^2-xy+qx+2xy-2y^2+2qy+px-py+pq\\ & =x^2+xy-2y^2+(p+q)x+(2q-p)y+pq\end{array}$$
となる。左辺と係数を比べると
$$p+q=a(1),2q-p=5(2),pq=-2(3)$$

$(2)$ より $p=2q-5$。これを $(3)$ に代入すると
$$q(2q-5)=-2$$
$$2q^2-5q+2=0$$
$$(2q-1)(q-2)=0$$
よって $q=2$ または $q=\frac{1}{2}$ である。

・$q=2$ のとき、$p=2\cdot 2-5=-1$。$(1)$ より $a=-1+2=1$。

・$q=\frac{1}{2}$ のとき、$p=2\cdot \frac{1}{2}-5=-4$。$(1)$ より $a=-4+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$。

確認すると、
$a=1$ のとき $x^2+xy-2y^2+x+5y-2=(x+2y-1)(x-y+2)$、
$a=-\frac{7}{2}$ のとき $x^2+xy-2y^2-\frac{7}{2}x+5y-2=(x+2y-4)\left(x-y+\frac{1}{2}\right)$
となり、確かに因数分解できる。

したがって、求める $a$ の値は $a=1,-\frac{7}{2}$ である。

$x^2+xy-2y^2=(x+2y)(x-y)$ なので、与式が $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるなら、$(x+2y+p)(x-y+q)$ の形になる。

展開すると
$$(x+2y+p)(x-y+q)=x^2+xy-2y^2+(p+q)x+(2q-p)y+pq$$
となる。与式と係数を比較して
- $p+q=a$
- $2q-p=5$
- $pq=-2$

第2式より $p=2q-5$。これを第3式に代入すると $(2q-5)q=-2$ より $2q^2-5q+2=0$、すなわち $(2q-1)(q-2)=0$。よって $q=2$ または $q=\frac{1}{2}$。

• $q=2$ のとき $p=-1$ で、$a=p+q=1$。
• $q=\frac{1}{2}$ のとき $p=-4$ で、$a=p+q=-\frac{7}{2}$。

検算：
- $a=1$ のとき $(x+2y-1)(x-y+2)=x^2+xy-2y^2+x+5y-2$ となり、一致する。
- $a=-\frac{7}{2}$ のとき $(x+2y-4)(x-y+\frac{1}{2})=x^2+xy-2y^2-\frac{7}{2}x+5y-2$ となり、一致する。

答え：$a=1,-\frac{7}{2}$