1 次式の積に因数分解できる条件

2 次の部分を $(2 x - y) (x + 2 y)$ と分解して、もとの式を $(2 x - y + p) (x + 2 y + q)$ とおき、係数を比べる（または $x$ の 2 次式とみた判別式が $y$ の完全平方式になる条件を使う）ことで、定数 $a$ を含む 2 次式が 1 次式の積に因数分解できるような $a$ の値を求められる

前提

2 文字の 2 次式の因数分解（数学I 数と式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$x, y$ の 2 次式に定数 $a$ が含まれているとき、その式が $x, y$ の 1 次式の積に因数分解できるような $a$ の値を求めます。2 次の部分（ $x^{2}, x y, y^{2}$ の項）だけを先に因数分解し、それをもとに積の形を仮定して係数を比べるのが基本の方法です。 $x$ の 2 次式とみて判別式を使う方法もあり、答えの確かめにも使えます。

なぜそうしてよいのか

もとの式が 1 次式の積 $(α x + β y + γ) (δ x + ε y + ζ)$ になったとします。これを展開したとき、 $x^{2}, x y, y^{2}$ の項は 2 つの因数の 1 次の部分どうしの積 $(α x + β y) (δ x + ε y)$ からしか出てきません。したがって、もとの式の 2 次の部分が $(2 x - y) (x + 2 y)$ と因数分解できるなら、2 つの因数の 1 次の部分はそれぞれ $2 x - y$ と $x + 2 y$ の定数倍です。その定数倍は一方の因数から他方へ移せるので、はじめから $(2 x - y + p) (x + 2 y + q)$ （ $p, q$ は定数）とおいてかまいません。

これを展開すると $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + (p + 2 q) x + (2 p - q) y + pq$ になります。もとの式と $x$ の係数・ $y$ の係数・定数項を比べると、 $p, q, a$ についての連立方程式が得られます。式は 3 本、未知数は $p, q, a$ の 3 つなので、すべての式を同時にみたす組を求めれば $a$ が決まります。

判別式を使う見方もあります。式を $x$ の 2 次式 $2 x^{2} + B x + C$ （ $B, C$ は $y$ の式）とみて $= 0$ を解くと $x = \frac{- B \pm D}{4}$ （ $D = B^{2} - 8 C$ ）です。この 2 つの解を $x_{1}, x_{2}$ とすると、式は $2 (x - x_{1}) (x - x_{2})$ と書けます。これが 1 次式の積になるのは、 $D$ が根号なしの $y$ の 1 次式になるとき、つまり $D$ が $y$ の完全平方式 $(k y + m)^{2}$ になるときです。 $y$ の 2 次式 $s y^{2} + t y + u$ （ $s > 0$ ）が完全平方式になる条件は、平方完成 $s (y + \frac{t}{2 s})^{2} - \frac{t ^{2} - 4 s u}{4 s}$ からわかるとおり、「 $y$ の 2 次式とみた判別式」 $t^{2} - 4 s u$ が $0$ になることです。

手順

2 次の部分（ $x^{2}, x y, y^{2}$ の項）だけを取り出し、たすき掛けで因数分解する。例： $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} = (2 x - y) (x + 2 y)$
もとの式を $(2 x - y + p) (x + 2 y + q)$ とおき、展開して $x$ ・ $y$ ・定数の項ごとに整理する： $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + (p + 2 q) x + (2 p - q) y + pq$
もとの式と係数を比べ、 $x$ の係数・ $y$ の係数・定数項についての 3 本の等式をつくる
3 本の等式をすべて同時にみたす $p, q, a$ を求める（解が複数あれば、すべて答える）
（別解・確かめ） $x$ の 2 次式とみて判別式 $D$ を $y$ の式で求め、 $D$ が $y$ の完全平方式になる条件「 $D$ を $y$ の 2 次式とみた判別式 $= 0$ 」から $a$ を求める

例題

$x, y$ の 2 次式 $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 3 x + 11 y + a$ が $x, y$ の 1 次式の積に因数分解できるような定数 $a$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順1】2 次の部分を因数分解すると $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} = (2 x - y) (x + 2 y)$ 。
【手順2】もとの式を $(2 x - y + p) (x + 2 y + q)$ とおく。展開すると
$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + (p + 2 q) x + (2 p - q) y + pq$
【手順3】もとの式と係数を比べて
$p + 2 q = 3, 2 p - q = 11, pq = a$
【手順4】2 番目の式から $q = 2 p - 11$ 。これを 1 番目に代入すると $p + 2 (2 p - 11) = 3$ より $5 p = 25$ 、 $p = 5$ 。よって $q = - 1$ 、 $a = pq = - 5$ 。実際、 $(2 x - y + 5) (x + 2 y - 1)$ を展開すると $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 3 x + 11 y - 5$ となり、確かに成り立つ。
【手順5（確かめ）】 $x$ について整理すると $2 x^{2} + (3 y + 3) x + (- 2 y^{2} + 11 y + a)$ 。判別式は
$D = (3 y + 3)^{2} - 8 (- 2 y^{2} + 11 y + a) = 25 y^{2} - 70 y + 9 - 8 a$
$D$ が $y$ の完全平方式になる条件は $(- 70)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot (9 - 8 a) = 0$ 、すなわち $4000 + 800 a = 0$ であり、 $a = - 5$ と一致する。

答え: $- 5$

よくある誤り

展開したときの $x$ ・ $y$ の係数を取り違える誤り。 $(2 x - y + p) (x + 2 y + q)$ の $x$ の項は $2 x \cdot q + p \cdot x$ から出るので係数は $p + 2 q$ 、 $y$ の項は $- y \cdot q + p \cdot 2 y$ から出るので係数は $2 p - q$ である（ $2 p + q$ などとしない）。
判別式の方法で $D = 0$ とおいてしまう誤り。 $D = 0$ は特定の $y$ で重解をもつ条件にすぎない。正しくは「 $D$ が $y$ の完全平方式になる」ことが条件なので、 $D = 25 y^{2} - 70 y + 9 - 8 a$ を $y$ の 2 次式とみた判別式を $0$ とおき、 $7 0^{2} - 4 \cdot 25 (9 - 8 a) = 0$ を解く。
解を一部しか拾わない誤り。たとえば $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 5 x + a y + 3$ では $p + 2 q = 5, pq = 3$ から $2 q^{2} - 5 q + 3 = 0$ となり、 $q = 1$ のほかに $q = \frac{3}{2}$ もある。正しくは両方を調べ、 $a = 2 p - q$ から $a = 5$ と $a = \frac{5}{2}$ の 2 つを答える（整数の解だけを探してたすき掛けで済ませると $\frac{5}{2}$ を落とす）。
3 本の等式のうち 2 本しか使わない誤り。たとえば例題で $p + 2 q = 3$ と $pq = a$ だけを使っても $p, q$ は決まらない。 $x$ の係数・ $y$ の係数・定数項の 3 本すべてを同時にみたす $p, q, a$ を求める必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

1 次式の積に因数分解できる条件

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