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数と式の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 数と式

$x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + x + y = 5040$ を満たす正の整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は全部で何個あるか。

この問題で使うもの

2 文字の 2 次式の因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

左辺の 2 次の部分 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}$ を因数分解し、残りの $x + y$ と共通な因数をくくり出そう。

ヒント 2

左辺は $(x + y) (x + 2 y + 1)$ と因数分解できる。 $u = x + y, v = x + 2 y + 1$ とおき、 $x, y$ を $u, v$ で表してみよう。

ヒント 3

$y = v - u - 1 ≧ 1, x = 2 u - v + 1 ≧ 1$ より $u + 2 ≦ v ≦ 2 u$ 。 $uv = 5040$ と合わせると $u$ の範囲が $2520 ≦ u^{2} < 5040$ に絞られる。この範囲にある $5040$ の約数を探そう。

答えと解説

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4

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解説を読む

因数分解　 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} = (x + y) (x + 2 y)$ だから $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + x + y = (x + y) (x + 2 y) + (x + y) = (x + y) (x + 2 y + 1)$ よって、方程式は $(x + y) (x + 2 y + 1) = 5040$ となる。

置き換え　 $u = x + y, v = x + 2 y + 1$ とおくと、 $uv = 5040$ で、 $u, v$ は正の整数である。 $x, y$ を $u, v$ で表すと $y = v - u - 1, x = u - y = 2 u - v + 1$ である。

$x, y$ が正の整数である条件は、 $u, v$ が整数であることに加えて
- $y ≧ 1$ より $v ≧ u + 2$
- $x ≧ 1$ より $v ≦ 2 u$

である。逆に、 $uv = 5040$ を満たす正の整数 $u, v$ が $u + 2 ≦ v ≦ 2 u$ を満たせば、 $x = 2 u - v + 1, y = v - u - 1$ は正の整数で、もとの方程式を満たす。また、 $(x, y)$ と $(u, v)$ は 1 対 1 に対応する。

$u$ の範囲　 $v = \frac{5040}{u}$ を代入する。
- $v ≦ 2 u$ より $5040 ≦ 2 u^{2}$ 、すなわち $u^{2} ≧ 2520$ 。 $5 0^{2} = 2500 < 2520 < 2601 = 5 1^{2}$ より $u ≧ 51$
- $v > u$ より $u^{2} < 5040$ 。 $7 0^{2} = 4900 < 5040 < 5041 = 7 1^{2}$ より $u ≦ 70$

約数を調べる　 $5040 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ の約数のうち $51 ≦ u ≦ 70$ を満たすものを調べる。 $51 = 3 \cdot 17, 52 = 4 \cdot 13, 54 = 2 \cdot 3^{3}, 55 = 5 \cdot 11, 57 = 3 \cdot 19, 58 = 2 \cdot 29, 62 = 2 \cdot 31, 64 = 2^{6}, 65 = 5 \cdot 13, 66 = 6 \cdot 11, 68 = 4 \cdot 17, 69 = 3 \cdot 23$ などは約数でなく（素数 $53, 59, 61, 67$ も約数でない）、約数は $u = 56, 60, 63, 70$ の 4 個である。それぞれ $v$ と $x, y$ を求めると
- $u = 56$ のとき $v = 90$ 。 $y = 33, x = 23$
- $u = 60$ のとき $v = 84$ 。 $y = 23, x = 37$
- $u = 63$ のとき $v = 80$ 。 $y = 16, x = 47$
- $u = 70$ のとき $v = 72$ 。 $y = 1, x = 69$

いずれも $v ≧ u + 2$ を満たし、 $x, y$ は正の整数である。

よって、求める組の個数は $4$ 個。

別解

左辺を因数分解する。 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} = (x + y) (x + 2 y)$ なので、 $x + y$ をくくって $(x + y) (x + 2 y + 1) = 5040$ 。
$a = x + y, b = x + 2 y + 1$ とおくと $ab = 5040$ 。逆に $y = b - a - 1, x = 2 a - b + 1$ である。
$x, y$ が正の整数 $⟺$ $y \geq 1$ かつ $x \geq 1$ $⟺$ $b \geq a + 2$ かつ $b \leq 2 a$ （ $a, b$ は整数なので）。
したがって $a$ は $5040$ の正の約数で、 $b = 5040/ a$ について $a + 2 \leq b \leq 2 a$ を満たすものを数えればよい（ $a$ と $(x, y)$ は 1 対 1 に対応）。
$b \leq 2 a$ より $2 a^{2} \geq 5040$ 、すなわち $a^{2} \geq 2520$ で $a \geq 51$ （ $5 0^{2} = 2500 < 2520$ , $5 1^{2} = 2601$ ）。
$b \geq a + 2$ より $a (a + 2) \leq 5040$ 、すなわち $(a + 1)^{2} \leq 5041 = 7 1^{2}$ で $a \leq 70$ 。
$5040 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ の約数のうち $51 \leq a \leq 70$ のものは $56, 60, 63, 70$ （ほかの 51〜70 の整数は、素因数 $11, 13, 17, \dots$ を含むか、 $54 = 2 \cdot 3^{3}$ 、 $64 = 2^{6}$ 、 $65 = 5 \cdot 13$ のように $5040$ を割り切らない）。
- $a = 56, b = 90$ : $y = 33, x = 23$
- $a = 60, b = 84$ : $y = 23, x = 37$
- $a = 63, b = 80$ : $y = 16, x = 47$
- $a = 70, b = 72$ : $y = 1, x = 69$
検算: $(x, y) = (69, 1)$ のとき $6 9^{2} + 3 \cdot 69 + 2 + 69 + 1 = 4761 + 207 + 2 + 70 = 5040$ 。 $(23, 33)$ のとき $(56) (23 + 66 + 1) = 56 \cdot 90 = 5040$ 。ほかも同様に成り立つ。
よって全部で $4$ 個。

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