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数と式の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 数と式

実数 $x, y$ が $x > y$ を満たし、さらに $x + y = 3, x^{2} + y^{2} = 7$ を満たすとする。このとき、 $x^{4} - y^{4}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

2 変数の対称式（説明と入口の問題）
高次の対称式・交代式の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x^{4} - y^{4}$ は対称式ではありません。対称式の部分と $x - y$ に分けて考えましょう。

ヒント 2

$x^{4} - y^{4} = (x^{2} + y^{2}) (x + y) (x - y)$ と因数分解できます。 $x - y$ は $(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y$ から求められます。

ヒント 3

$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ から $x y = 1$ がわかり、 $(x - y)^{2} = 5$ です。 $x > y$ から $x - y$ の符号を決めましょう。

答えと解説

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解説を読む

まず $x y$ を求める。 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ より $9 = 7 + 2 x y$ 、よって $x y = 1$ 。

次に $x - y$ を求める。 $(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y = 9 - 4 = 5$ であり、 $x > y$ より $x - y > 0$ なので $x - y = 5$ 。

$x^{4} - y^{4}$ を因数分解すると $x^{4} - y^{4} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) = (x^{2} + y^{2}) (x + y) (x - y)$ であるから $x^{4} - y^{4} = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 215 .$

（確かめ： $x = \frac{3 + 5}{2}, y = \frac{3 - 5}{2}$ であり、 $x^{4} = \frac{47 + 21 5}{2}, y^{4} = \frac{47 - 21 5}{2}$ より差は $215$ 。）

別解

$x y = \frac{( x + y ) ^{2} - ( x ^{2} + y ^{2} )}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1$ 。 $(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 7 - 2 = 5$ 、 $x > y$ より $x - y = 5$ 。
$x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = 35$ 。 $x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 35 \cdot 7 = 215$ 。
検算: $x = \frac{3 + 5}{2}$ 、 $y = \frac{3 - 5}{2}$ とすると $x + y = 3$ 、 $x^{2} + y^{2} = \frac{( 14 + 6 5 ) + ( 14 - 6 5 )}{4} = 7$ で成立。 $x^{2} - y^{2} = \frac{12 5}{4} = 35$ で一致。

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