数と式の問題

$x+y=3$, $xy=1$ を使って、$x^2+y^2$ から $x^5+y^5$ まで順に求めます。

$x^2+y^2$ と $x^3+y^3$ を求める

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=3^2-2\cdot 1=7$$
$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=27-3\cdot 1\cdot 3=18$$

次数を 1 つずつ上げる式

$(x+y)(x^n+y^n)$ を展開すると
$$(x+y)(x^n+y^n)=x^{n+1}+y^{n+1}+x{y}^n+x^{n}y=x^{n+1}+y^{n+1}+xy(x^{n-1}+y^{n-1})$$
となります。よって
$$x^{n+1}+y^{n+1}=(x+y)(x^n+y^n)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})$$
が成り立ちます。ここで $x+y=3$, $xy=1$ を代入すると
$$x^{n+1}+y^{n+1}=3(x^n+y^n)-(x^{n-1}+y^{n-1})$$
です。

$x^4+y^4$ を求める（$n=3$）

$$x^4+y^4=3(x^3+y^3)-(x^2+y^2)=3\cdot 18-7=47$$

$x^5+y^5$ を求める（$n=4$）

$$x^5+y^5=3(x^4+y^4)-(x^3+y^3)=3\cdot 47-18=141-18=123$$

したがって、$x^5+y^5=123$ です。

$x+y=3$, $xy=1$ とする。$p_n=x^n+y^n$ とおくと、$p_n=3p_{n-1}-p_{n-2}$ が成り立つ。
$p_0=2$, $p_1=3$。
$p_2=3\cdot 3-2=7$（直接 $9-2=7$ でも確認できる）。
$p_3=3\cdot 7-3=18$。
$p_4=3\cdot 18-7=47$。
$p_5=3\cdot 47-18=123$。
検算: $x^5+y^5=(x+y{)}^5-5xy(x+y{)}^3+5(xy{)}^2(x+y)=243-5\cdot 27+15=243-135+15=123$。
なお判別式は $9-4=5>0$ なので $x,y$ は実数であり、条件に合う。