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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

実数 $x, y$ が $x + y = 5, x y = 3$ を満たすとき、 $x^{3} + y^{3}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

2 変数の対称式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「2 変数の対称式」を使います。 $x^{3} + y^{3}$ を $x + y$ と $x y$ だけで表しましょう。

ヒント 2

$(x + y)^{3}$ を展開すると $x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$ になります。よって $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ です。

ヒント 3

$x^{3} + y^{3} = 5^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 5$ を計算します。

答えと解説

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80

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解説を読む

$x^{3} + y^{3}$ は、 $x$ と $y$ を入れかえても変わらない対称式です。対称式は $x + y$ と $x y$ で表せるので、与えられた値をそのまま代入できます。

手順 1： $x^{3} + y^{3}$ を $x + y$ と $x y$ で表す

3 乗の展開公式より
$(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$
です。これを $x^{3} + y^{3}$ について解くと
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$
となります。

手順 2：値を代入する

$x + y = 5, x y = 3$ を代入すると
$x^{3} + y^{3} = 5^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 5 = 125 - 45 = 80$

したがって、 $x^{3} + y^{3} = 80$ です。

別解

$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ を使う。 $x + y = 5$ , $x y = 3$ を代入すると $5^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 5 = 125 - 45 = 80$ 。

検算： $x, y$ は $t^{2} - 5 t + 3 = 0$ の解で、判別式 $25 - 12 = 13 > 0$ より実数解をもつ。 $x^{2} + y^{2} = 25 - 6 = 19$ なので $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = 5 (19 - 3) = 80$ 。一致する。

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