数と式の問題

$x+y$ と $xy$ の値がわかっているので、$x^n+y^n$ を次数の低いものから順に求めていきます。

使う式は、$n$ を正の整数として
$$x^{n+1}+y^{n+1}=(x+y)(x^n+y^n)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})$$
です。右辺を展開すると $x^{n+1}+x{y}^n+x^{n}y+y^{n+1}-x^{n}y-x{y}^n=x^{n+1}+y^{n+1}$ となるので、この式が成り立つことが確かめられます。

ここでは $x+y=3,xy=1$ を代入するので
$$x^{n+1}+y^{n+1}=3(x^n+y^n)-(x^{n-1}+y^{n-1})$$
となります。

1 次・2 次・3 次
$$x+y=3$$
$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=9-2=7$$
$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=27-9=18$$
（上の式で $n=2$ として $3\cdot 7-3=18$ と求めても同じです。）

4 次（$n=3$）
$$x^4+y^4=3(x^3+y^3)-(x^2+y^2)=3\cdot 18-7=47$$

5 次（$n=4$）
$$x^5+y^5=3(x^4+y^4)-(x^3+y^3)=3\cdot 47-18=141-18=123$$

なお、$x,y$ は $t^2-3t+1=0$ の 2 つの解であり、判別式 $9-4=5>0$ より、条件を満たす実数 $x,y$ は確かに存在します。

よって $x^5+y^5=123$ です。

$p_n=x^n+y^n$ とおくと、$p_n=3p_{n-1}-p_{n-2}$（$x,y$ は $t^2-3t+1=0$ の解）。$p_0=2,p_1=3$ より、$p_2=3\cdot 3-2=7$、$p_3=3\cdot 7-3=18$、$p_4=3\cdot 18-7=47$、$p_5=3\cdot 47-18=123$。
検算：$x^5+y^5=(x+y{)}^5-5xy(x+y{)}^3+5(xy{)}^2(x+y)=243-5\cdot 27+15=243-135+15=123$。
なお判別式 $9-4=5>0$ なので $x,y$ は実数として存在する。