数と式の問題

$s_n=x^n+y^n$ とおきます。$n\geqq 2$ のとき、
$$(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})=x^n+y^n+xy(x^{n-2}+y^{n-2})$$
が成り立ちます。これを移項すると
$$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})$$
となります。$x+y=2,xy=-1$ を代入すると
$$s_n=2s_{n-1}-(-1)s_{n-2}=2s_{n-1}+s_{n-2}$$
です。この式を使って、$s_1$ から $s_5$ まで順に求めます。

まず $s_1$ と $s_2$ です。
$$s_1=x+y=2$$
$$s_2=(x+y{)}^2-2xy=4-2\cdot (-1)=6$$

次に $s_3$ です。
$$s_3=2s_2+s_1=2\cdot 6+2=14$$
確認として、公式 $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ を使うと $8-3\cdot (-1)\cdot 2=14$ となり、一致します。

続いて $s_4$ と $s_5$ です。
$$s_4=2s_3+s_2=2\cdot 14+6=34$$
$$s_5=2s_4+s_3=2\cdot 34+14=82$$

よって、$x^5+y^5=82$ です。

$x+y=2$, $xy=-1$ より、$x,y$ は $t^2-2t-1=0$ の解である。したがって $x^2=2x+1$, $y^2=2y+1$ が成り立つ。
$p_n=x^n+y^n$ とおくと $p_{n+2}=2p_{n+1}+p_n$。
$p_0=2$, $p_1=2$。
$p_2=2\cdot 2+2=6$（検算: $(x+y{)}^2-2xy=4+2=6$）。
$p_3=2\cdot 6+2=14$。
$p_4=2\cdot 14+6=34$。
$p_5=2\cdot 34+14=82$。

検算: $x=1+\sqrt{2}$, $y=1-\sqrt{2}$。$(1+\sqrt{2}{)}^5=1+5\sqrt{2}+10\cdot 2+10\cdot 2\sqrt{2}+5\cdot 4+4\sqrt{2}=41+29\sqrt{2}$。$y^5=41-29\sqrt{2}$。和は $82$。