数と式の問題

$x^2+y^2+z^2$ を求める

$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ より
$$x^2+y^2+z^2=2^2-2\cdot (-1)=4+2=6$$

$x^3+y^3+z^3$ を求める

因数分解の公式
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$
より
$$x^3+y^3+z^3=3\cdot (-2)+2\cdot \{6-(-1)\}=-6+14=8$$

積 $(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)$ を展開する

展開すると
$$(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=x^5+y^5+z^5+S$$
となる。ここで $S$ は $x^2{y}^3$ のように異なる 2 文字の積からなる残りの 6 項の和であり、2 文字ずつまとめると
$$S=x^2{y}^2(x+y)+y^2{z}^2(y+z)+z^2{x}^2(z+x)$$
である。

$S$ を求める

$x+y=2-z$, $y+z=2-x$, $z+x=2-y$ を代入すると
$$S=x^2{y}^2(2-z)+y^2{z}^2(2-x)+z^2{x}^2(2-y)$$
$$=2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)-(x^2{y}^{2}z+x{y}^2{z}^2+x^{2}y{z}^2)$$
となる。後ろのかっこは $xyz(xy+yz+zx)=(-2)\cdot (-1)=2$ である。

また、$(xy+yz+zx{)}^2=x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+2xyz(x+y+z)$ より
$$x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=(-1{)}^2-2\cdot (-2)\cdot 2=1+8=9$$
である。よって
$$S=2\cdot 9-2=16$$

答え

$$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-S=6\cdot 8-16=32$$

$x,y,z$ は $t^3-2t^2-t+2=0$ の 3 つの解である。これは $(t-2)(t-1)(t+1)=0$ と因数分解できるので、解は $2,1,-1$ である。

検算として、和は $2+1-1=2$、2 つずつの積の和は $2-1-2=-1$、積は $-2$ となり、与えられた 3 つの条件を満たす。

よって $x^5+y^5+z^5=32+1+(-1)=32$。

別の方法で確かめる。$p_n=x^n+y^n+z^n$ とすると、$p_n=2p_{n-1}+p_{n-2}-2p_{n-3}$ が成り立つ。
$p_1=2$、$p_2=6$、$p_3=8$、$p_4=2\cdot 8+6-2\cdot 2=18$、$p_5=2\cdot 18+8-2\cdot 6=32$。

どちらの方法でも 32 となり、一致する。