数と式の問題

$e_1=x+y+z=1$, $e_2=xy+yz+zx=-2$, $e_3=xyz=-1$ とおき、$p_n=x^n+y^n+z^n$ とする。

漸化式の確認
$(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-e_1{t}^2+e_{2}t-e_3$ であるから、$t=x$ を代入すると $x^3-e_1{x}^2+e_{2}x-e_3=0$、すなわち
$$x^3=e_1{x}^2-e_{2}x+e_3$$
が成り立つ。両辺に $x^n$ を掛けると $x^{n+3}=e_1{x}^{n+2}-e_2{x}^{n+1}+e_3{x}^n$ となる。$y,z$ についても同様の式が成り立つので、3 つを加えて
$$p_{n+3}=e_1{p}_{n+2}-e_2{p}_{n+1}+e_3{p}_n$$
を得る。今の値を代入すると
$$p_{n+3}=p_{n+2}+2p_{n+1}-p_n$$
である。

$p_1,p_2,p_3$ を求める
$p_1=e_1=1$。
$p_2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)=1^2-2\cdot (-2)=5$。
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ より
$$p_3=1\cdot \{5-(-2)\}+3\cdot (-1)=7-3=4.$$

漸化式で順に求める
$$p_4=p_3+2p_2-p_1=4+10-1=13$$
$$p_5=p_4+2p_3-p_2=13+8-5=16$$
$$p_6=p_5+2p_4-p_3=16+26-4=38$$

よって $x^6+y^6+z^6=38$ である。

$x,y,z$ は $t^3-t^2-2t+1=0$ の3解である。したがって各解について $t^3=t^2+2t-1$ が成り立つ。$p_k=x^k+y^k+z^k$ とおくと、$t^k=t^{k-1}+2t^{k-2}-t^{k-3}$ より、$k\ge 3$ で $p_k=p_{k-1}+2p_{k-2}-p_{k-3}$ となる。

初期値は $p_0=3$, $p_1=1$, $p_2=1^2-2(-2)=5$ である。

$p_3=5+2\cdot 1-3=4$

$p_4=4+2\cdot 5-1=13$

$p_5=13+2\cdot 4-5=16$

$p_6=16+2\cdot 13-4=38$

検算:$p_3$ は $x^3+y^3+z^3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3=1+6-3=4$ となり、一致する。また $f(t)=t^3-t^2-2t+1$ は $f(-2)=-7$, $f(-1)=1$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$, $f(2)=1$ なので、符号が3回変わり、異なる3つの実数解をもつ。よって条件を満たす実数 $x,y,z$ は存在する。

答えは 38。