数と式の問題

3 変数の対称式の 2 つの公式を使います。

手順 1：$x^2+y^2+z^2$ を求める

$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)$$
に値を代入すると
$$x^2+y^2+z^2=4^2-2\cdot 2=16-4=12$$

手順 2：$x^3+y^3+z^3-3xyz$ の因数分解を使う

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$
ここで
$$x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=12-2=10$$
なので
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=4\cdot 10=40$$

手順 3：$x^3+y^3+z^3$ を求める

$xyz=-1$ より $3xyz=-3$ だから
$$x^3+y^3+z^3=40+3xyz=40+(-3)=37$$

よって、$x^3+y^3+z^3=37$ です。

$x,y,z$ は $t^3-4t^2+2t+1=0$ の3解である。恒等式 $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を使う。

まず $x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)=16-4=12$。
よって $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=12-2=10$。
したがって $x^3+y^3+z^3=3xyz+4\cdot 10=-3+40=37$。

検算：$t^3-4t^2+2t+1=(t-1)(t^2-3t-1)$ と因数分解できる。解は $1,\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$ で、すべて実数である。
$1+{\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}^3+{\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)}^3$ について、$s=3,p=-1$ なので $s^3-3sp=27+9=36$。これに1を足して $37$。一致する。