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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 4, x y + y z + z x = 1, x y z = - 2$
を満たしている。このとき、 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

3 変数の対称式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「3 変数の対称式」の技能を使います。 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ を $x + y + z$ , $x y + y z + z x$ , $x y z$ で表しましょう。

ヒント 2

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ と $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$ を使います。

ヒント 3

まず $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 - 2 = 14$ です。これを 2 つ目の式に代入すると、 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = 4 \times (14 - 1)$ となります。

答えと解説

答えを見る

46

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解説を読む

3 変数の対称式は、基本対称式 $x + y + z$ , $x y + y z + z x$ , $x y z$ で表せます。

手順 1： $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ を求める

$(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x)$ より
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x) = 4^{2} - 2 \cdot 1 = 14$

手順 2： $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ を求める

因数分解の公式
$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$
を使います。右辺のかっこの中は
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - (x y + y z + z x) = 14 - 1 = 13$
なので
$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = 4 \cdot 13 = 52$
よって
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = 52 + 3 x y z = 52 + 3 \cdot (- 2) = 52 - 6 = 46$

答えは $46$ です。

別解

$x + y + z = 4, x y + y z + z x = 1, x y z = - 2$ より、
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x) = 16 - 2 = 14$ 。
恒等式 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$ を使うと、
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 (- 2) + 4 (14 - 1) = - 6 + 52 = 46$ 。

検算： $x, y, z$ は $t^{3} - 4 t^{2} + t + 2 = 0$ の解である。これは $(t - 1) (t^{2} - 3 t - 2) = 0$ と因数分解でき、解は $1, \frac{3 \pm 17}{2}$ となり、すべて実数である。
$t^{2} - 3 t - 2 = 0$ の2解を $p, q$ とすると $p + q = 3, pq = - 2$ なので、 $p^{3} + q^{3} = 27 - 3 (- 2) (3) = 45$ 。
よって $1 + 45 = 46$ となり、先の結果と一致する。

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