高次の対称式・交代式の値

$x^{n + 1} + y^{n + 1} = (x + y) (x^{n} + y^{n}) - x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ などを使って $x^{4} + y^{4}$ , $x^{5} + y^{5}$ の値を順に求め、 $x - y = (x + y)^{2} - 4 x y$ （符号に注意）と組み合わせて $x^{5} - y^{5}$ のような式の値も求められる

前提

2 変数の対称式（数学I 数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

この技能までの道筋（19 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

説明

$x + y$ と $x y$ の値だけから、 $x^{4} + y^{4}$ や $x^{5} + y^{5}$ のような次数の高い対称式の値を、次数の低いものから順に求められるようになります。また、 $x - y$ の値を $x + y$ と $x y$ から求め、 $x^{5} - y^{5}$ のような交代式（ $x$ と $y$ を入れかえると符号だけが変わる式）の値も同じ方法で計算できます。 $x, y$ が根号を含む数で、5 乗を直接展開すると大変なときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$p = x + y, q = x y$ とおきます。 $(x + y) (x^{n} + y^{n})$ を展開すると $x^{n + 1} + x^{n} y + x y^{n} + y^{n + 1}$ です。余分な $x^{n} y + x y^{n}$ は $x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ と書けるので、これを引くと $x^{n + 1} + y^{n + 1} = (x + y) (x^{n} + y^{n}) - x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ が成り立ちます（ $n \geq 2$ で使います）。 $s_{n} = x^{n} + y^{n}$ と書けば $s_{n + 1} = p s_{n} - q s_{n - 1}$ です。つまり、すぐ下の 2 つの次数の値がわかれば次の次数の値がわかるので、前提の技能で求めた $s_{1} = p, s_{2} = p^{2} - 2 q$ から $s_{3}, s_{4}, s_{5}, \dots$ と順に求められます。

同じ計算を $x^{n} - y^{n}$ で行うと、 $(x + y) (x^{n} - y^{n}) = x^{n + 1} - x y^{n} + x^{n} y - y^{n + 1}$ で、余分な $x^{n} y - x y^{n} = x y (x^{n - 1} - y^{n - 1})$ を引けば $x^{n + 1} - y^{n + 1} = (x + y) (x^{n} - y^{n}) - x y (x^{n - 1} - y^{n - 1})$ となり、 $d_{n} = x^{n} - y^{n}$ も $d_{n + 1} = p d_{n} - q d_{n - 1}$ という同じ形の式をみたします。出発点は $d_{1} = x - y$ と $d_{2} = x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ です。

$x - y$ そのものは、 $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y$ から求めます。ここで $A^{2} = ∣ A ∣$ なので、 $x - y = \pm (x + y)^{2} - 4 x y$ となり、符号は $x > y$ か $x < y$ かという条件で決めます。

手順

$p = x + y, q = x y$ の値を求める（与えられていればそのまま使う）。
対称式なら $s_{1} = p, s_{2} = p^{2} - 2 q$ を出し、 $s_{n + 1} = p s_{n} - q s_{n - 1}$ を使って $s_{3}, s_{4}, s_{5}$ と順に求める。
交代式なら、まず $(x - y)^{2} = p^{2} - 4 q$ を計算し、大小の条件から符号を決めて $x - y = \pm p^{2} - 4 q$ を求める。
$d_{1} = x - y, d_{2} = p d_{1}$ を出し、 $d_{n + 1} = p d_{n} - q d_{n - 1}$ を使って $d_{3}, d_{4}, d_{5}$ と順に求める。

例題

$x + y = 3, x y = 1, x > y$ のとき、 $x^{5} - y^{5}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $p = x + y = 3, q = x y = 1$ である。

【手順 3】 $(x - y)^{2} = p^{2} - 4 q = 9 - 4 = 5$ 。 $x > y$ より $x - y > 0$ なので $x - y = 5$ 。

【手順 4】 $d_{n} = x^{n} - y^{n}$ とおくと $d_{n + 1} = 3 d_{n} - d_{n - 1}$ 。
$d_{1} = 5$
$d_{2} = p d_{1} = 35$
$d_{3} = 3 \cdot 35 - 5 = 85$
$d_{4} = 3 \cdot 85 - 35 = 215$
$d_{5} = 3 \cdot 215 - 85 = 555$

よって $x^{5} - y^{5} = 555$ 。

（確認） $x, y$ は $t^{2} - 3 t + 1 = 0$ の解なので $x = \frac{3 + 5}{2}, y = \frac{3 - 5}{2}$ です。 $x^{5}$ と $y^{5}$ を直接展開しても同じ値になります。

答え: $555$

よくある誤り

漸化式の引き算を足し算にして $x^{n + 1} + y^{n + 1} = (x + y) (x^{n} + y^{n}) + x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ としてしまう誤り。正しくは $(x + y) (x^{n} + y^{n})$ から余分な $x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ を引くので $- x y (x^{n - 1} + y^{n - 1})$ である。
$x - y = (x + y)^{2} - 4 x y$ と常に正の符号をつけてしまう誤り。正しくは $x - y = \pm (x + y)^{2} - 4 x y$ で、たとえば $x < y$ なら $x - y = - (x + y)^{2} - 4 x y$ となる。
$x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 x y$ としてしまう誤り。 $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$ なので、正しくは $x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2}$ である。
$x^{5} + y^{5} = (x^{2} + y^{2}) (x^{3} + y^{3})$ としてしまう誤り。右辺を展開すると $x^{5} + x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2} + y^{5}$ になるので、正しくは $x^{5} + y^{5} = (x^{2} + y^{2}) (x^{3} + y^{3}) - (x y)^{2} (x + y)$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

高次の対称式・交代式の値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題