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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I 数と式

$x = \frac{7 + 3}{2}, y = \frac{7 - 3}{2}$ のとき、
$x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

2 変数の対称式（説明と入口の問題）
高次の対称式・交代式の値（説明と入口の問題）
根号を含む式の計算と分母の有理化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

与式は $x$ と $y$ を入れかえても変わらない対称式なので、 $x + y$ と $x y$ の値を使って表すことを考えましょう。

ヒント 2

$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ 、 $x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2}$ 、 $x^{3} y + x y^{3} = x y (x^{2} + y^{2})$ を利用します。

ヒント 3

$x + y = 7$ 、 $x y = 1$ なので $x^{2} + y^{2} = 5$ です。ここから $x^{4} + y^{4}$ と $x^{3} y + x y^{3}$ をそれぞれ計算しましょう。

答えと解説

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18

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解説を読む

まず、基本対称式 $x + y$ と $x y$ の値を求める。
$x + y = \frac{( 7 + 3 ) + ( 7 - 3 )}{2} = \frac{2 7}{2} = 7$
$x y = \frac{( 7 + 3 ) ( 7 - 3 )}{4} = \frac{7 - 3}{4} = 1$

次に $x^{2} + y^{2}$ を求める。
$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = (7)^{2} - 2 \cdot 1 = 7 - 2 = 5$

さらに $x^{4} + y^{4}$ を求める。
$x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 x^{2} y^{2} = 5^{2} - 2 \cdot 1^{2} = 25 - 2 = 23$

与式の後半部分は $x y$ でくくれる。
$x^{3} y + x y^{3} = x y (x^{2} + y^{2}) = 1 \cdot 5 = 5$

よって
$x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3} = (x^{4} + y^{4}) - x y (x^{2} + y^{2}) = 23 - 5 = 18$

（確認） $x^{2} = \frac{5 + 21}{2}, y^{2} = \frac{5 - 21}{2}$ であり、 $x^{2} + y^{2} = 5$ となって上の計算と一致する。

答えは $18$ である。

別解

$x + y = 7$ 、 $x y = \frac{7 - 3}{4} = 1$ である。
$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 7 - 2 = 5$ 。
$x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x y)^{2} = 25 - 2 = 23$ 。
$x^{3} y + x y^{3} = x y (x^{2} + y^{2}) = 1 \cdot 5 = 5$ 。
よって与式は $23 - 5 = 18$ 。

検算： $x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3} = (x^{3} - y^{3}) (x - y)$ と因数分解できる。 $x - y = 3$ で、 $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 3 (5 + 1) = 63$ 。よって積は $63 \cdot 3 = 18$ となり、一致する。

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