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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I 数と式

実数 $x, y$ が $x + y = 3, x y = - 2$ を満たすとき、 $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

2 変数の対称式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分数の和は通分して、分子と分母をそれぞれ $x + y$ と $x y$ で表すことを考えよう。

ヒント 2

通分すると $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y}$ になる。 $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ を使う。

ヒント 3

$x^{3} + y^{3} = 3^{3} - 3 \cdot (- 2) \cdot 3$ を計算し、 $x y = - 2$ で割ればよい。

答えと解説

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- \frac{45}{2}

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解説を読む

$x y = - 2 \neq = 0$ なので $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ であり、式は定義される。

通分すると
$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y}$

$x^{3} + y^{3}$ を $x + y$ と $x y$ で表すと
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 3^{3} - 3 \cdot (- 2) \cdot 3 = 27 + 18 = 45$

したがって
$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{45}{- 2} = - \frac{45}{2}$

別解

$x y = - 2 \neq = 0$ なので $x, y \neq = 0$ 。 $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y}$ 。
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 27 - 3 \cdot (- 2) \cdot 3 = 27 + 18 = 45$ 。
よって $\frac{45}{- 2} = - \frac{45}{2}$ 。
検算： $x, y$ は $t^{2} - 3 t - 2 = 0$ の解 $t = \frac{3 \pm 17}{2}$ （実数）。 $x \approx 3.5616$ 、 $y \approx - 0.5616$ ： $x^{2} / y \approx - 22.587$ 、 $y^{2} / x \approx 0.0886$ 、和 $\approx - 22.5$ 。

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