数と式の問題

$xy$ の値

$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2{y}^2}=\frac{6}{x^2{y}^2}$$
であるから、条件より $\frac{6}{x^2{y}^2}=6$、すなわち $x^2{y}^2=1$ である。$x>0,y>0$ より $xy>0$ なので $xy=1$ である。

$x-y$ の値

$$(x-y{)}^2=x^2+y^2-2xy=6-2=4$$
である。$x>y$ より $x-y>0$ なので $x-y=2$ である。

必要な対称式の値

$$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=36-2=34$$
である。

$x^5-y^5$ の計算

$$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4)$$
と因数分解できる。右辺の第2因子は
$$x^4+y^4+xy(x^2+y^2)+x^2{y}^2=34+1\cdot 6+1=41$$
となる。したがって
$$x^5-y^5=2\cdot 41=82$$
である。

検算

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=8$ であり、$x+y>0$ より $x+y=2\sqrt{2}$ である。$x-y=2$ と合わせると $x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1$ となる。

まず $(\sqrt{2}+1{)}^2=3+2\sqrt{2}$、$(\sqrt{2}+1{)}^4=(3+2\sqrt{2}{)}^2=17+12\sqrt{2}$ である。よって
$$(\sqrt{2}+1{)}^5=(17+12\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=41+29\sqrt{2}$$
となる。同様に $(\sqrt{2}-1{)}^5=29\sqrt{2}-41$ である。

差をとると $(41+29\sqrt{2})-(29\sqrt{2}-41)=82$ となり、結果と一致する。

答え: $82$

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2{y}^2}=\frac{6}{x^2{y}^2}=6$ より $x^2{y}^2=1$。$x,y>0$ なので $xy=1$。
$(x-y{)}^2=6-2=4$ で $x>y$ より $x-y=2$。
$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=36-2=34$、$x^{3}y+x{y}^3=xy(x^2+y^2)=6$、$x^2{y}^2=1$。
$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4)=2(34+6+1)=82$。
検算：$x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1$ は条件を満たし、$(1+\sqrt{2}{)}^5=41+29\sqrt{2}$、$(\sqrt{2}-1{)}^5=-41+29\sqrt{2}$ なので差は $82$。