数と式の問題

$s=x+y+z$、$t=xy+yz+zx$、$u=xyz$ とおく。

手順1：$(x+y)(y+z)(z+x)$ を $s,t,u$ で表す

$x+y=s-z$、$y+z=s-x$、$z+x=s-y$ であるから、
$$(x+y)(y+z)(z+x)=(s-x)(s-y)(s-z).$$
右辺を展開すると
$$(s-x)(s-y)(s-z)=s^3-(x+y+z)s^2+(xy+yz+zx)s-xyz=s^3-s^3+ts-u=st-u.$$

手順2：$x^3+y^3+z^3$ を $s,t,u$ で表す

展開すると
$$s^3=(x+y+z{)}^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz$$
が成り立つ。よって
$$x^3+y^3+z^3=s^3-3st+3u.$$

手順3：鍵となる恒等式を導く

手順1, 2 より
$$(x+y+z{)}^3-(x^3+y^3+z^3)=3st-3u=3(st-u)=3(x+y)(y+z)(z+x).$$

手順4：条件を代入する

$x+y+z=2$、$x^3+y^3+z^3=8$ を代入すると
$$3(x+y)(y+z)(z+x)=2^3-8=0.$$
よって $x+y=0$、$y+z=0$、$z+x=0$ のうち少なくとも1つが成り立つ。

手順5：$x,y,z$ を求める

条件も求める式も $x,y,z$ について対称なので、$x+y=0$ の場合を考えれば十分である。

• $x+y+z=2$ より $z=2$。
• $y=-x$ を $xyz=-18$ に代入すると $x\cdot (-x)\cdot 2=-2x^2=-18$ となり、$x^2=9$。

実際、$(x,y,z)=(3,-3,2)$ は $3-3+2=2$、$27-27+8=8$、$3\cdot (-3)\cdot 2=-18$ を満たすので、条件を満たす実数は存在する。

手順6：値を計算する

$x^2=y^2=9$、$z=2$ であるから
$$x^6+y^6+z^6=9^3+9^3+2^6=729+729+64=1522.$$

他の場合（$y+z=0$ や $z+x=0$）も、文字を入れかえただけなので同じ値になる。

(別解：$s=2$ と $8=s^3-3st+3u$ から $u=2t$ となり、$u=-18$ より $t=-9$ を得る。ここから順に計算しても同じ値になる。)

答え：$1522$

$e_1=x+y+z=2$, $e_2=xy+yz+zx$, $e_3=xyz=-18$ とおく。
$x^3+y^3+z^3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3$ より、$8=8-6e_2-54$ なので $e_2=-9$。
よって $x,y,z$ は $t^3-2t^2-9t+18=0$ の解である。
これは $(t-2)(t^2-9)=0$ と因数分解でき、解は $2,3,-3$。
検算: 和は $2$、積は $2\cdot 3\cdot (-3)=-18$、3乗和は $8+27-27=8$ で、すべて条件を満たす。
したがって $x^6+y^6+z^6=2^6+3^6+(-3{)}^6=64+729+729=1522$。