数と式の問題

$4-\sqrt{15}>0$ であるから $q$ は正の実数であり、$p>q>0$ である。

まず基本となる値を求める。
$$p^2+q^2=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$$
$$pq=\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\sqrt{16-15}=1$$

よって
$$(p+q{)}^2=p^2+q^2+2pq=8+2=10,(p-q{)}^2=p^2+q^2-2pq=8-2=6$$
$p+q>0$、$p-q>0$ であるから
$$p+q=\sqrt{10},p-q=\sqrt{6}$$

次に $p^3+q^3$ を計算する。
$$p^3+q^3=(p+q{)}^3-3pq(p+q)=(\sqrt{10}{)}^3-3\cdot 1\cdot \sqrt{10}=10\sqrt{10}-3\sqrt{10}=7\sqrt{10}$$

したがって
$$\frac{p^3+q^3}{p-q}=\frac{7\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{10}\sqrt{6}}{6}=\frac{7\sqrt{60}}{6}=\frac{7\cdot 2\sqrt{15}}{6}=\frac{7\sqrt{15}}{3}$$

(参考) 二重根号を外すと $p=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$, $q=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$ となり、上の結果と一致する。

$p^2+q^2=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$、$pq=\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\sqrt{1}=1$。
$p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=7(p+q)$。
$(p+q{)}^2=8+2=10$、$(p-q{)}^2=8-2=6$。$p>q>0$ より $p+q=\sqrt{10}$、$p-q=\sqrt{6}$。
よって $\frac{p^3+q^3}{p-q}=\frac{7\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=7\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{7\sqrt{15}}{3}$。
検算：$p\approx \sqrt{7.873}\approx 2.8059$、$q\approx \sqrt{0.127}\approx 0.3564$。$p^3+q^3\approx 22.092+0.0453=22.137$、$p-q\approx 2.4495$、比は約 $9.037$。$7\sqrt{15}/3\approx 7\times 3.873/3\approx 9.037$ で一致。