この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

数と式の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 数と式

$a = 14 - 65$ とする。このとき、 $P = a^{2} - 4 a + 4 + 9 a^{2} - 6 a + 1$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

根号を含む式の計算と分母の有理化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $a$ の二重根号をはずして簡単な形にし、次に $P$ の各根号の中が完全平方式になっていることに注目しましょう。

ヒント 2

$14 - 65 = (p - q)^{2}$ の形を探します。また $A^{2} = ∣ A ∣$ であり、 $A$ の符号で絶対値のはずし方が変わります。

ヒント 3

$a = 3 - 5$ となり、 $P = ∣ a - 2∣ + ∣3 a - 1∣$ です。 $a - 2$ と $3 a - 1 = 8 - 35$ の符号をそれぞれ調べましょう。

答えと解説

答えを見る

7 - 25

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

まず $a$ の二重根号をはずす。 $(3 - 5)^{2} = 9 - 65 + 5 = 14 - 65$ であり、 $3 - 5 > 0$ だから $a = (3 - 5)^{2} = 3 - 5$ である。

次に、 $A^{2} = ∣ A ∣$ を用いると $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2} = ∣ a - 2∣, 9 a^{2} - 6 a + 1 = (3 a - 1)^{2} = ∣3 a - 1∣$ となる。

$2 < 5 < 3$ より $0 < a = 3 - 5 < 1$ なので $a - 2 < 0$ であり、 $∣ a - 2∣ = 2 - a$ 。

また $3 a - 1 = 8 - 35$ で、 $8^{2} = 64 > 45 = (35)^{2}$ より $8 > 35$ 、すなわち $3 a - 1 > 0$ であるから $∣3 a - 1∣ = 3 a - 1$ 。

よって $P = (2 - a) + (3 a - 1) = 2 a + 1 = 2 (3 - 5) + 1 = 7 - 25 .$

別解

$14 - 65 = 9 + 5 - 2 \cdot 35 = (3 - 5)^{2}$ であり $3 - 5 > 0$ なので $a = 3 - 5$ 。 $a \approx 0.764$ より $a < 2$ 、 $3 a > 1$ 。
$P = (a - 2)^{2} + (3 a - 1)^{2} = ∣ a - 2∣ + ∣3 a - 1∣ = (2 - a) + (3 a - 1) = 1 + 2 a = 1 + 2 (3 - 5) = 7 - 25$ 。
検算: $a \approx 0.7639$ のとき $∣ a - 2∣ = 1.2361$ 、 $∣3 a - 1∣ = 1.2918$ 、和 $\approx 2.5279$ 。 $7 - 25 \approx 7 - 4.4721 = 2.5279$ で一致。

数と式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題