この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I 数と式

$x = \frac{7 + 3}{7 - 3}, y = \frac{7 - 3}{7 + 3}$
のとき、 $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

根号を含む式の計算と分母の有理化（説明と入口の問題）
2 変数の対称式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x$ と $y$ の分母をそれぞれ有理化し、 $x + y$ と $x y$ の値を求めることを考えましょう。

ヒント 2

$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y}$ と通分し、 $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ を使います。

ヒント 3

有理化すると $x = \frac{5 + 21}{2}$ 、 $y = \frac{5 - 21}{2}$ となり、 $x + y = 5$ 、 $x y = 1$ が得られます。

答えと解説

答えを見る

110

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

分母の有理化

$x$ の分母と分子に $7 + 3$ を掛けると、
$x = \frac{( 7 + 3 ) ^{2}}{( 7 - 3 ) ( 7 + 3 )} = \frac{10 + 2 21}{7 - 3} = \frac{5 + 21}{2}$
となる。同様に $y$ の分母と分子に $7 - 3$ を掛けると、
$y = \frac{( 7 - 3 ) ^{2}}{7 - 3} = \frac{10 - 2 21}{4} = \frac{5 - 21}{2}$
となる。

基本対称式の値

$x + y = \frac{5 + 21}{2} + \frac{5 - 21}{2} = 5$
$x y = \frac{( 5 + 21 ) ( 5 - 21 )}{4} = \frac{25 - 21}{4} = 1$

求める式の変形

通分すると
$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y}$
となる。分子は
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$
と変形できるので、
$x^{3} + y^{3} = 5^{3} - 3 \cdot 1 \cdot 5 = 125 - 15 = 110$
である。

結論

$x y = 1$ より
$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{110}{1} = 110$

別解

$x y = 1$ である。 $x = \frac{( 7 + 3 ) ^{2}}{4} = \frac{10 + 2 21}{4} = \frac{5 + 21}{2}$ 、 $y = \frac{5 - 21}{2}$ 。よって $x + y = 5$ 、 $x y = 1$ 。
$\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x y} = x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 125 - 15 = 110$ 。
検算: $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 23$ 、 $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = 5 (23 - 1) = 110$ 。一致する。

数と式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題