数と式の問題

手順1：第1項の分母を有理化する。

分母が $\sqrt{3}-1$ なので、分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。分母には $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ が使えます。
$$\frac{4}{\sqrt{3}-1}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{2}=2\sqrt{3}+2$$

手順2：$\sqrt{12}$ を簡単にする。

$12=2^2\times 3$ なので、$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ と $\sqrt{2^2}=2$ を使います。
$$\sqrt{12}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$$

手順3：まとめる。
$$\frac{4}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{12}=(2\sqrt{3}+2)-2\sqrt{3}=2$$

よって、求める値は $2$ です。

$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化する。分母と分子に $\sqrt{3}+1$ をかけると、$\frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1}=2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+2$。また $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。よって式の値は $2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}=2$。検算として、$\sqrt{3}\approx 1.7320508$ とすると、$4/0.7320508\approx 5.4641$、$\sqrt{12}\approx 3.4641$ で、差は $2$ となり一致する。