数と式の問題

分母 $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ には根号が含まれています。そこで、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使って分母から根号をなくします（分母の有理化）。

手順 1：分母と分子に同じ式を掛ける

分母の $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ に対しては、符号を変えた $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ を分母と分子の両方に掛けます。分母と分子に同じ $0$ でない数を掛けても、式の値は変わりません。
$$\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$$

手順 2：分母を計算する

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ より、
$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3$$
となり、分母から根号が消えます。

手順 3：約分する
$$\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}=2(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$$

よって、答えは $2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$ です。

分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ を掛ける。
$$\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}=2(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$$
検算: $\sqrt{5}\approx 2.2361,\sqrt{2}\approx 1.4142$ より、元の式は $6/3.6503\approx 1.6437$。答えは $2(2.2361-1.4142)=1.6438$ で一致する。