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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ は実数とする。次の 1 次不等式を解け。 $\frac{x + 4}{2} - \frac{5 x - 1}{4} < 3$

この問題で使うもの

1 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「1 次不等式」を使います。まず分母の最小公倍数を両辺にかけて分母を払いましょう。

ヒント 2

両辺に $4$ をかけると $2 (x + 4) - (5 x - 1) < 12$ になります。最後に $x$ の係数が負の数になったら、割るときに不等号の向きを逆にします。

ヒント 3

括弧を外して整理すると $- 3 x + 9 < 12$ 、つまり $- 3 x < 3$ になります。両辺を $- 3$ で割りましょう。

答えと解説

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x > - 1

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解説を読む

1 次不等式の解き方を使います。分母を払い、括弧を外して整理し、最後に $x$ の係数で割ります。負の数で割るときは不等号の向きを逆にします。

手順 1：分母を払う

分母 $2$ と $4$ の最小公倍数は $4$ です。両辺に正の数 $4$ をかけても、不等号の向きは変わりません。
$4 \cdot \frac{x + 4}{2} - 4 \cdot \frac{5 x - 1}{4} < 4 \cdot 3$
$2 (x + 4) - (5 x - 1) < 12$

手順 2：括弧を外す

$- (5 x - 1)$ は $- 5 x + 1$ になることに注意します。
$2 x + 8 - 5 x + 1 < 12$

手順 3：整理する

左辺をまとめると次のようになります。
$- 3 x + 9 < 12$
$9$ を右辺に移項します。
$- 3 x < 12 - 9$
$- 3 x < 3$

手順 4： $x$ の係数で割る

両辺を負の数 $- 3$ で割るので、不等号の向きが逆になります。
$x > \frac{3}{- 3}$
$x > - 1$

確かめ

$x = 0$ のとき、左辺は $\frac{4}{2} - \frac{- 1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ です。これは $3$ より小さいので成り立ちます。

$x = - 2$ のとき、左辺は $\frac{2}{2} - \frac{- 11}{4} = 1 + \frac{11}{4} = \frac{15}{4}$ です。これは $3$ 以上なので成り立ちません。

どちらも結果と合っています。

答えは $x > - 1$ です。

別解

両辺に 4 をかけると $2 (x + 4) - (5 x - 1) < 12$ 。左辺を整理して $2 x + 8 - 5 x + 1 = - 3 x + 9$ なので $- 3 x + 9 < 12$ 、よって $- 3 x < 3$ 。負の数で割るので不等号の向きが変わり $x > - 1$ 。
検算: $x = 0$ のとき $\frac{4}{2} - \frac{- 1}{4} = 2 + 0.25 = 2.25 < 3$ で成り立つ。 $x = - 1$ のとき $\frac{3}{2} - \frac{- 6}{4} = 1.5 + 1.5 = 3$ で等号となり、不等式は成り立たない（境界）。 $x = - 2$ のとき $1 - \frac{- 11}{4} = 3.75 > 3$ で成り立たない。よって解は $x > - 1$ 。

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