数と式の問題

分母をはらってから、1 次方程式と同じように移項して整理します。最後に $x$ の係数で割るとき、係数が負なら不等号の向きを変えます。

手順 1：分母をはらう

分母 $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ を両辺にかけます。$6$ は正の数なので、不等号の向きは変わりません。
$$6\cdot \frac{x-1}{2}-6\cdot \frac{2x+1}{3}\geqq 6\cdot 1$$
$$3(x-1)-2(2x+1)\geqq 6$$
分子はひとまとまりなので、括弧をつけたままかけることに注意します。

手順 2：括弧をはずす

$-2(2x+1)=-4x-2$ となり、符号に注意すると
$$3x-3-4x-2\geqq 6$$
$$-x-5\geqq 6$$

手順 3：移項する

$-5$ を右辺に移項すると
$$-x\geqq 6+5$$
$$-x\geqq 11$$

手順 4：$x$ の係数で割る

両辺を $-1$ で割ります。負の数で割るので、不等号の向きが変わります。
$$x\leqq -11$$

確かめ

$x=-11$ のとき、左辺は $\frac{-12}{2}-\frac{-21}{3}=-6+7=1$ となり、等号が成り立ちます。$x=-12$ のとき、左辺は $\frac{-13}{2}-\frac{-23}{3}=\frac{-39+46}{6}=\frac{7}{6}\geqq 1$ となり、不等式を満たします。

よって、答えは $x\leqq -11$ です。

両辺に 6 を掛けると $3(x-1)-2(2x+1)\geqq 6$。左辺を展開して $3x-3-4x-2\geqq 6$ より $-x-5\geqq 6$。したがって $-x\geqq 11$ で、$x\leqq -11$。検算：$x=-11$ のとき $\frac{-12}{2}-\frac{-21}{3}=-6+7=1$ となり等号が成り立つ。$x=-12$ のとき $\frac{-13}{2}-\frac{-23}{3}=-6.5+7.667=1.167\geqq 1$ で成り立つ。$x=0$ のとき $-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}<1$ で成り立たない。よって解は $x\leqq -11$。