数と式の問題

分母の有理化

$$x=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$

同様に $y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ である。

基本対称式の値

$$x+y=2\sqrt{5},xy=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=2$$

$x^2+y^2$ と $x^3+y^3$ の値

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=20-4=16$$

$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=(2\sqrt{5}{)}^3-3\cdot 2\cdot 2\sqrt{5}=40\sqrt{5}-12\sqrt{5}=28\sqrt{5}$$

$x^5+y^5$ の値

$(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ を展開すると次のようになる。

$$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+y^5+x^2{y}^2(x+y)$$

よって

$$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy{)}^2(x+y)=16\cdot 28\sqrt{5}-4\cdot 2\sqrt{5}=448\sqrt{5}-8\sqrt{5}=440\sqrt{5}$$

検算

二項展開を使うと、$\sqrt{3}$ の奇数乗を含む項は打ち消し合うので

$$x^5+y^5=2\left\{(\sqrt{5}{)}^5+{}_5{\mathrm{C}}_2(\sqrt{5}{)}^3(\sqrt{3}{)}^2+{}_5{\mathrm{C}}_4\sqrt{5}(\sqrt{3}{)}^4\right\}$$

$$=2(25\sqrt{5}+150\sqrt{5}+45\sqrt{5})=440\sqrt{5}$$

となり、結果が一致する。

答えは $440\sqrt{5}$ である。

分母を有理化すると $x=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ となる。よって $x+y=2\sqrt{5}$、$xy=2$。
$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=20-4=16$。
$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=40\sqrt{5}-12\sqrt{5}=28\sqrt{5}$。
$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2{y}^2(x+y)=16\cdot 28\sqrt{5}-4\cdot 2\sqrt{5}=448\sqrt{5}-8\sqrt{5}=440\sqrt{5}$。
検算：漸化式 $s_n=2\sqrt{5}{s}_{n-1}-2s_{n-2}$ より $s_3=28\sqrt{5}$、$s_4=280-32=248$、$s_5=496\sqrt{5}-56\sqrt{5}=440\sqrt{5}$ となり一致する。