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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を変数とする。式 $(2 x - 3)^{3}$ を展開したときの $x^{2}$ の係数を求めよ。

この問題で使うもの

3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

3乗の展開公式 $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ を使います。

ヒント 2

$a = 2 x, b = 3$ とおくと、 $x^{2}$ を含むのは $- 3 a^{2} b$ の項です。

ヒント 3

$- 3 a^{2} b = - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3$ を計算します。 $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ に注意しましょう。

答えと解説

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- 36

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3乗の展開公式
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
を使う。

$(2 x - 3)^{3}$ は $a = 2 x, b = 3$ とおいた形である。

それぞれの項を計算する。
- $a^{3} = (2 x)^{3} = 8 x^{3}$
- $3 a^{2} b = 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$
- $3 a b^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 9 = 54 x$
- $b^{3} = 3^{3} = 27$

よって
$(2 x - 3)^{3} = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$
となる。

$x^{2}$ を含む項は $- 36 x^{2}$ なので、 $x^{2}$ の係数は $- 36$ である。

別解

二項定理より $(2 x - 3)^{3} = \sum_{k = 0}^{3}_{3} C_{k} (2 x)^{3 - k} (- 3)^{k}$ 。 $x^{2}$ の項は $k = 1$ のときで、 $_{3} C_{1} (2 x)^{2} (- 3) = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot (- 3) = - 36 x^{2}$ 。よって係数は $- 36$ 。検算：展開すると $8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ 。 $x = 1$ を代入すると $(2 - 3)^{3} = - 1$ 、 $8 - 36 + 54 - 27 = - 1$ で一致する。

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