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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。次の式を展開せよ。 $(2 x - 3)^{3}$

この問題で使うもの

3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

3 乗の展開公式 $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ を使います。

ヒント 2

$a = 2 x, b = 3$ とおきます。 $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ 、 $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ のように、係数もまとめて累乗することに注意しましょう。

ヒント 3

$a^{3} = 8 x^{3}$ 、 $3 a^{2} b = 36 x^{2}$ です。残りの $3 a b^{2}$ と $b^{3}$ を計算し、符号を $+, -, +, -$ の順に並べましょう。

答えと解説

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8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27

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解説を読む

3 乗の展開公式
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
を使います。

手順 1： $a$ と $b$ にあたるものを決める。
$(2 x - 3)^{3}$ は $(a - b)^{3}$ の形で、 $a = 2 x, b = 3$ です。

手順 2：公式の各項を計算する。
- $a^{3} = (2 x)^{3} = 8 x^{3}$
- $3 a^{2} b = 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$
- $3 a b^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 9 = 54 x$
- $b^{3} = 3^{3} = 27$

手順 3：符号に注意して公式に当てはめる。
$(2 x - 3)^{3} = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$

確かめ： $x = 1$ を代入すると、左辺は $(2 - 3)^{3} = - 1$ 、右辺は $8 - 36 + 54 - 27 = - 1$ で一致します。

よって、答えは $8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ です。

別解

二項定理（または公式 $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ ）で $a = 2 x, b = 3$ とおく。
$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
$3 (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$
$3 (2 x) \cdot 3^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot 9 = 54 x$
$3^{3} = 27$
よって $(2 x - 3)^{3} = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$ 。
検算： $x = 1$ のとき左辺は $(- 1)^{3} = - 1$ 、右辺は $8 - 36 + 54 - 27 = - 1$ で一致する。 $x = 2$ のとき左辺は $1$ 、右辺は $64 - 144 + 108 - 27 = 1$ で一致する。

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