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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。方程式 $∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ = 5$ の解をすべて求めよ。

この問題で使うもの

場合分けによる絶対値のはずし方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「場合分けによる絶対値のはずし方」を使います。絶対値の中の式 $x - 2$ , $x + 1$ が $0$ になる $x$ の値を境にして、 $x$ の範囲を分けましょう。

ヒント 2

境目は $x = - 1$ と $x = 2$ です。 $x < - 1$ , $- 1 ≦ x < 2$ , $x ≧ 2$ の 3 つの場合で、それぞれ中身が負なら $- ()$ 、0 以上ならそのまま、として絶対値をはずします。

ヒント 3

$x < - 1$ のとき方程式は $- 2 x + 1 = 5$ 、 $- 1 ≦ x < 2$ のとき $3 = 5$ 、 $x ≧ 2$ のとき $2 x - 1 = 5$ になります。それぞれ解いて、出てきた $x$ がその場合の範囲に入っているかを確かめましょう。

答えと解説

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{- 2, 3}

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解説を読む

絶対値の中の式 $x - 2$ と $x + 1$ の符号が変わるのは $x = 2$ と $x = - 1$ のときです。そこで、 $x$ の範囲を $x < - 1$ , $- 1 ≦ x < 2$ , $x ≧ 2$ の 3 つに分けて絶対値をはずします。

(i) $x < - 1$ のとき

$x - 2 < 0$ , $x + 1 < 0$ なので $∣ x - 2∣ = - (x - 2)$ , $∣ x + 1∣ = - (x + 1)$ です。方程式は
$- (x - 2) - (x + 1) = 5$
$- 2 x + 1 = 5$
$x = - 2$
となります。 $x = - 2$ は $x < - 1$ を満たすので解です。

(ii) $- 1 ≦ x < 2$ のとき

$x - 2 < 0$ , $x + 1 ≧ 0$ なので $∣ x - 2∣ = - (x - 2)$ , $∣ x + 1∣ = x + 1$ です。方程式は
$- (x - 2) + (x + 1) = 5$
$3 = 5$
となり、これは成り立ちません。よって、この範囲に解はありません。

(iii) $x ≧ 2$ のとき

$x - 2 ≧ 0$ , $x + 1 > 0$ なので $∣ x - 2∣ = x - 2$ , $∣ x + 1∣ = x + 1$ です。方程式は
$(x - 2) + (x + 1) = 5$
$2 x - 1 = 5$
$x = 3$
となります。 $x = 3$ は $x ≧ 2$ を満たすので解です。

(i)〜(iii) をまとめると、求める解は $x = - 2, 3$ です。

（確かめ: $x = - 2$ のとき $∣ - 4∣ + ∣ - 1∣ = 5$ 、 $x = 3$ のとき $∣1∣ + ∣4∣ = 5$ となり、どちらも成り立ちます。）

別解

$∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ = 5$ を場合分けして解く。

(i) $x < - 1$ のとき: $(2 - x) + (- x - 1) = 1 - 2 x = 5$ より $x = - 2$ 。これは $x < - 1$ を満たす。

(ii) $- 1 \leq x < 2$ のとき: $(2 - x) + (x + 1) = 3$ となり、 $3 = 5$ は成り立たない。解なし。

(iii) $x \geq 2$ のとき: $(x - 2) + (x + 1) = 2 x - 1 = 5$ より $x = 3$ 。これは $x \geq 2$ を満たす。

検算: $x = - 2$ のとき $∣ - 4∣ + ∣ - 1∣ = 4 + 1 = 5$ 。 $x = 3$ のとき $∣1∣ + ∣4∣ = 5$ 。ともに成り立つ。

よって解は $x = - 2, 3$ 。

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