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数と式の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 数と式

$n$ を整数とする。 $n^{4} + 4$ が素数となるような $n$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n^{4} + 4$ を整数係数の $2$ 次式 $2$ つの積に因数分解できないか考えましょう。

ヒント 2

$n^{4} + 4 = (n^{2} + 2)^{2} - 4 n^{2}$ と変形すると、平方の差 $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ が使えます。

ヒント 3

$n^{4} + 4 = {(n + 1)^{2} + 1} {(n - 1)^{2} + 1}$ となり、どちらの因数も $1$ 以上の整数です。素数になるにはどちらかの因数が $1$ でなければなりません。

答えと解説

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- 1, 1

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解説を読む

$n^{4} + 4$ に $4 n^{2}$ を足して引くことで、平方の差の形にする。 $n^{4} + 4 = (n^{4} + 4 n^{2} + 4) - 4 n^{2} = (n^{2} + 2)^{2} - (2 n)^{2} = (n^{2} + 2 n + 2) (n^{2} - 2 n + 2) .$

ここで $n^{2} + 2 n + 2 = (n + 1)^{2} + 1 ≧ 1, n^{2} - 2 n + 2 = (n - 1)^{2} + 1 ≧ 1$ であり、どちらも正の整数である。

素数は、 $2$ つの正の整数の積として表したとき、一方が $1$ でなければならない。したがって $n^{4} + 4$ が素数であるためには、 $(n + 1)^{2} + 1 = 1$ または $(n - 1)^{2} + 1 = 1$ が必要である。

$(n + 1)^{2} + 1 = 1$ のとき $n = - 1$ 。このとき $n^{4} + 4 = 5$ で素数。
$(n - 1)^{2} + 1 = 1$ のとき $n = 1$ 。このとき $n^{4} + 4 = 5$ で素数。

逆に、これら以外の $n$ では $2$ つの因数がともに $2$ 以上となり、 $n^{4} + 4$ は素数でない。

よって求める $n$ は $n = - 1, 1$ である。

別解

$n^{4} + 4 = (n^{2} + 2)^{2} - (2 n)^{2} = (n^{2} + 2 n + 2) (n^{2} - 2 n + 2)$ 。
$n^{2} + 2 n + 2 = (n + 1)^{2} + 1 \geq 1$ 、 $n^{2} - 2 n + 2 = (n - 1)^{2} + 1 \geq 1$ 。素数となるには一方の因数が 1 でなければならない。
$(n + 1)^{2} + 1 = 1$ のとき $n = - 1$ 、 $(n - 1)^{2} + 1 = 1$ のとき $n = 1$ 。
どちらも $n^{4} + 4 = 5$ で素数。
$n \neq = \pm 1$ のとき、両因数は 2 以上となり、積は合成数。
検算: $n = 0$ で 4、 $n = \pm 2$ で 20、 $n = \pm 3$ で 85 といずれも素数でない。

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