数と式の問題

与えられた式を因数分解する。$x^2$ の項を調整して平方の差を作ると
$$n^4-12n^2+16=(n^4-8n^2+16)-4n^2=(n^2-4{)}^2-(2n{)}^2$$
$$=(n^2-2n-4)(n^2+2n-4)$$

$A=n^2-2n-4$, $B=n^2+2n-4$ とおく。$n$ は整数なので $A,B$ は整数である。

$AB$ が素数 $p$ (正) になるためには、整数 $A,B$ の組が
$$(A,B)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)$$
のいずれかでなければならない。したがって $A=\pm 1$ または $B=\pm 1$ が必要である。

(i) $A=1$ のとき: $n^2-2n-5=0$。判別式 $4+20=24$ は平方数でないので整数解はない。

(ii) $A=-1$ のとき: $n^2-2n-3=0$ より $(n-3)(n+1)=0$、$n=3,-1$。
- $n=3$: $B=9+6-4=11$ で $AB=-11<0$ となり素数ではない。
- $n=-1$: $B=1-2-4=-5$ で $AB=(-1)\cdot (-5)=5$ となり素数である。

(iii) $B=1$ のとき: $n^2+2n-5=0$。判別式 $24$ は平方数でないので整数解はない。

(iv) $B=-1$ のとき: $n^2+2n-3=0$ より $(n+3)(n-1)=0$、$n=-3,1$。
- $n=-3$: $A=9+6-4=11$ で $AB=-11<0$ となり素数ではない。
- $n=1$: $A=1-2-4=-5$ で $AB=5$ となり素数である。

実際、$n=\pm 1$ のとき $n^4-12n^2+16=1-12+16=5$ で素数である。

よって求める $n$ は $n=-1,1$ である。

$n^4-12n^2+16=(n^2-4{)}^2-4n^2=(n^2-2n-4)(n^2+2n-4)$。
$A=n^2-2n-4$、$B=n^2+2n-4$ とおく。積が素数になるには、一方が $\pm 1$ で他方が $\pm$素数（積が正）である必要がある。
$A=1$：$n^2-2n-5=0$ は整数解なし。$A=-1$：$n^2-2n-3=0$ より $n=3,-1$。$n=3$ のとき $B=11$、積 $-11$（素数でない）。$n=-1$ のとき $B=-5$、積 $5$（素数）。
$B=1$：$n^2+2n-5=0$ は整数解なし。$B=-1$：$n^2+2n-3=0$ より $n=1,-3$。$n=1$ のとき $A=-5$、積 $5$（素数）。$n=-3$ のとき $A=11$、積 $-11$（不可）。
よって $n=\pm 1$。検算：$n=\pm 1$ で $1-12+16=5$（素数）。$n=0$：16、$n=\pm 2$：$-16$、$n=\pm 3$：$-11$、$n=\pm 4$：80、$n=\pm 5$：$341=11\cdot 31$ でいずれも不適。