数と式の問題

言い換え　$k^2>0$ なので
$$|k^{2}x-1|=k^2\left|x-\frac{1}{k^2}\right|$$
と書ける。したがって $f(x)$ は、数直線上の点 $\frac{1}{k^2}$ $(k=1,2,\dots ,50)$ からの距離に「重み」$k^2$ を掛けて足したものである。

傾きを調べる　$f(x)$ は、折れ目 $x=\frac{1}{k^2}$ をもつ折れ線のグラフになる（1 次関数をつないだもの）。折れ目でない $x$ では、各項は
- $\frac{1}{k^2}<x$ のとき $k^{2}x-1$（傾き $+k^2$）
- $\frac{1}{k^2}>x$ のとき $1-k^{2}x$（傾き $-k^2$）

なので、$f(x)$ の傾きは
$$\left(\frac{1}{k^2}<x\text{ となる }k\text{ についての }{k}^2\text{ の和}\right)-\left(\frac{1}{k^2}>x\text{ となる }k\text{ についての }{k}^2\text{ の和}\right)$$
である。$x$ が増えると、項が後者から前者へ移るだけなので、傾きは増加していく。よって、傾きが負から正に変わる折れ目で $f(x)$ は最小になる。

$\frac{1}{k^2}<x$ となるのは $k$ が大きい側なので、傾きが変わる場所を探すには
$$\sum _{k=1}^{50}{k}^2=\frac{50\cdot 51\cdot 101}{6}=42925,$$
$$\sum _{k=1}^{39}{k}^2=\frac{39\cdot 40\cdot 79}{6}=20540,\sum _{k=1}^{40}{k}^2=\frac{40\cdot 41\cdot 81}{6}=22140$$
を使う。

- $\frac{1}{41^2}<x<\frac{1}{40^2}$ のとき、$\frac{1}{k^2}<x$ となるのは $41\leqq k\leqq 50$ なので、傾きは
$$(42925-22140)-22140=20785-22140=-1355<0.$$
- $\frac{1}{40^2}<x<\frac{1}{39^2}$ のとき、$\frac{1}{k^2}<x$ となるのは $40\leqq k\leqq 50$ なので、傾きは
$$(42925-20540)-20540=22385-20540=1845>0.$$

よって $f(x)$ は $x=\frac{1}{40^2}=\frac{1}{1600}$ で最小となる（$x\leqq \frac{1}{1600}$ では傾きが負で減少、$x\geqq \frac{1}{1600}$ では傾きが正で増加）。

最小値の計算　
$$f\left(\frac{1}{1600}\right)=\sum _{k=1}^{50}\left|\frac{k^2}{1600}-1\right|$$
$k\leqq 39$ では $1-\frac{k^2}{1600}$、$k=40$ では $0$、$k\geqq 41$ では $\frac{k^2}{1600}-1$ なので
$$f\left(\frac{1}{1600}\right)=\left(39-\frac{20540}{1600}\right)+\left(\frac{20785}{1600}-10\right)=29+\frac{245}{1600}=29+\frac{49}{320}=\frac{9329}{320}.$$

よって最小値は $\frac{9329}{320}$ である。

$|k^{2}x-1|=k^2\left|x-\frac{1}{k^2}\right|$ なので $f(x)={\sum }_{k=1}^{50}{k}^2\left|x-\frac{1}{k^2}\right|$。折れ線で各区間の傾きは単調に増加する凸関数であり、最小値は傾きの符号が負から正に変わる点でとる。

$x$ のまわりで、$\frac{1}{k^2}<x$ となる $k$ では傾きに $+k^2$、$\frac{1}{k^2}>x$ となる $k$ では $-k^2$ が寄与する。
${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より ${\sum }_{k=1}^{50}{k}^2=42925$、${\sum }_{k=1}^{40}{k}^2=22140$、${\sum }_{k=1}^{39}{k}^2=20540$。

$x$ が $\frac{1}{1600}$ の少し左（$\frac{1}{41^2}<x<\frac{1}{40^2}$）にあるとき、傾きは
${\sum }_{k=41}^{50}{k}^2-{\sum }_{k=1}^{40}{k}^2=(42925-22140)-22140=-1355<0$。
$x$ が $\frac{1}{1600}$ の少し右（$\frac{1}{40^2}<x<\frac{1}{39^2}$）にあるとき、傾きは
${\sum }_{k=40}^{50}{k}^2-{\sum }_{k=1}^{39}{k}^2=(42925-20540)-20540=1845>0$。
よって最小値は $x=\frac{1}{1600}$ でとる。

$k=40$ の項は $0$。$k\ge 41$ では $k^{2}x-1>0$、$k\le 39$ では $k^{2}x-1<0$ だから
$$f\left(\frac{1}{1600}\right)=\sum _{k=41}^{50}\left(\frac{k^2}{1600}-1\right)+\sum _{k=1}^{39}\left(1-\frac{k^2}{1600}\right)=\frac{20785}{1600}-10+39-\frac{20540}{1600}=29+\frac{245}{1600}=29+\frac{49}{320}=\frac{9329}{320}.$$

検算: ${\sum }_{k=41}^{50}{k}^2=42925-22140=20785$、${\sum }_{k=1}^{39}{k}^2=\frac{39\cdot 40\cdot 79}{6}=20540$。$\frac{9329}{320}\approx 29.153$。