指数関数と対数関数の問題

$a={\log }_{10}{3}^n=0.4771n$、$b={\log }_{10}{2}^n=0.3010n$ とおく。

正の整数 $N$ について、$k\leqq {\log }_{10}N<k+1$（$k$ は整数）であれば $10^k\leqq N<10^{k+1}$ となり、$N$ は $k+1$ 桁である。したがって、$a$ の整数部分を $q$、$b$ の整数部分を $p$ とすると、$3^n$ は $q+1$ 桁、$2^n$ は $p+1$ 桁である。

条件は $(q+1)-(p+1)=5$、すなわち $q-p=5$ である。

$n$ の範囲を絞る。 $q\leqq a<q+1$、$p\leqq b<p+1$ より
$$a-b-1<q-p<a-b+1$$
が成り立つ。$a-b=0.1761n$ であり、$q-p=5$ となるためには
$$0.1761n-1<5\text{かつ}5<0.1761n+1$$
が必要である。すなわち $4<0.1761n<6$ であり、
$$\frac{4}{0.1761}=22.71\cdots <n<\frac{6}{0.1761}=34.07\cdots$$
となる。よって $23\leqq n\leqq 34$ である。

各 $n$ を調べる。
- $n=23$：$a=10.9733$、$b=6.923$ より $q-p=10-6=4$
- $n=24$：$a=11.4504$、$b=7.224$ より $q-p=11-7=4$
- $n=25$：$a=11.9275$、$b=7.525$ より $q-p=11-7=4$
- $n=26$：$a=12.4046$、$b=7.826$ より $q-p=12-7=5$
- $n=27$：$a=12.8817$、$b=8.127$ より $q-p=12-8=4$
- $n=28$：$a=13.3588$、$b=8.428$ より $q-p=13-8=5$
- $n=29$：$a=13.8359$、$b=8.729$ より $q-p=13-8=5$
- $n=30$：$a=14.3130$、$b=9.030$ より $q-p=14-9=5$
- $n=31$：$a=14.7901$、$b=9.331$ より $q-p=14-9=5$
- $n=32$：$a=15.2672$、$b=9.632$ より $q-p=15-9=6$
- $n=33$：$a=15.7443$、$b=9.933$ より $q-p=15-9=6$
- $n=34$：$a=16.2214$、$b=10.234$ より $q-p=16-10=6$

以上より、求める $n$ は $n=26,28,29,30,31$ である。

$3^n$ の桁数は $\lfloor n{\log }_{10}3\rfloor +1$、$2^n$ の桁数は $\lfloor n{\log }_{10}2\rfloor +1$ である。したがって条件は $\lfloor 0.4771n\rfloor -\lfloor 0.3010n\rfloor =5$ となる。

範囲の絞り込み: $\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor$ は $x-y-1$ より大きく $x-y+1$ より小さい。ここで $x-y=0.1761n$ である。
- $n\le 22$ のとき、$0.1761n+1<5$ に近い値となる。$n\le 21$ では差は 5 未満である。$n=22$ は直接計算で確認する。
- $n\ge 35$ のとき、$0.1761n-1>5$ なので差は 6 以上となる。

よって $n=22,\dots ,34$ を調べればよい。各 $n$ で $(\lfloor 0.4771n\rfloor ,\lfloor 0.3010n\rfloor )$ とその差は次のとおり。
- $n=22$: (10, 6) 差 4
- $n=23$: (10, 6) 差 4
- $n=24$: (11, 7) 差 4
- $n=25$: (11, 7) 差 4
- $n=26$: (12, 7) 差 5
- $n=27$: (12, 8) 差 4
- $n=28$: (13, 8) 差 5
- $n=29$: (13, 8) 差 5
- $n=30$: (14, 9) 差 5
- $n=31$: (14, 9) 差 5
- $n=32$: (15, 9) 差 6
- $n=33$: (15, 9) 差 6
- $n=34$: (16, 10) 差 6

差が 5 になるのは $n=26,28,29,30,31$ である。

検算: $3^{30}\approx 2.06\times 10^{14}$ は 15 桁、$2^{30}\approx 1.07\times 10^9$ は 10 桁で、差は 5 である。$3^{27}\approx 7.6\times 10^{12}$ は 13 桁、$2^{27}\approx 1.34\times 10^8$ は 9 桁で、差は 4 であり、表と一致する。