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指数関数と対数関数の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 指数関数と対数関数

$n$ は正の整数とする。 $5^{n}$ の桁数が $2^{n}$ の桁数のちょうど $2$ 倍になるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ とする。

この問題で使うもの

常用対数と桁数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$2^{n} \times 5^{n} = 1 0^{n}$ であることに注目し、 $2^{n}$ の桁数と $5^{n}$ の桁数の関係を調べよう。

ヒント 2

$2^{n}$ の桁数を $a + 1$ とすると $1 0^{a} < 2^{n} < 1 0^{a + 1}$ である。ここから $5^{n} = \frac{1 0 ^{n}}{2 ^{n}}$ の桁数を $n$ と $a$ で表そう。

ヒント 3

$5^{n}$ の桁数は $n - a$ となるので、条件は $n - a = 2 (a + 1)$ である。 $n = 3 k + 2$ , $a = k$ とおき、 $k ≦ (3 k + 2) lo g_{10} 2 < k + 1$ を満たす $0$ 以上の整数 $k$ を調べる。

答えと解説

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{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20}

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解説を読む

$2^{n}$ の桁数を $a + 1$ （ $a$ は $0$ 以上の整数）とおくと
$1 0^{a} ≦ 2^{n} < 1 0^{a + 1}$
である。 $n ≧ 1$ のとき $2^{n}$ は $10$ の累乗ではないので、左側の等号は成り立たない。よって
$1 0^{a} < 2^{n} < 1 0^{a + 1} .$

次に $5^{n} = \frac{1 0 ^{n}}{2 ^{n}}$ であるから、上の不等式の各辺の逆数をとって $1 0^{n}$ を掛けると
$1 0^{n - a - 1} < 5^{n} < 1 0^{n - a}$
となる。したがって $5^{n}$ の桁数は $n - a$ である。

条件「 $5^{n}$ の桁数が $2^{n}$ の桁数の $2$ 倍」は
$n - a = 2 (a + 1) すなわち a = \frac{n - 2}{3}$
である。 $a$ は $0$ 以上の整数なので、 $k$ を $0$ 以上の整数として $n = 3 k + 2$ , $a = k$ と書ける。

このとき条件は「 $2^{3 k + 2}$ の桁数が $k + 1$ 」であり、これは
$k ≦ (3 k + 2) lo g_{10} 2 < k + 1$
と同値である。 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ を用いると
$k ≦ 0.9030 k + 0.6020 < k + 1.$

左側の不等式から $0.0970 k ≦ 0.6020$ 、すなわち
$k ≦ \frac{0.6020}{0.0970} = 6.20 \dots$
である。右側の不等式は $- 0.0970 k < 0.3980$ となり、 $k ≧ 0$ のとき常に成り立つ。

よって $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ であり、
$n = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20.$

（確認： $n = 20$ のとき $2^{20} = 1048576$ は $7$ 桁、 $5^{20} = 95367431640625$ は $14$ 桁で条件を満たす。 $n = 23$ のとき $2^{23} = 8388608$ は $7$ 桁、 $5^{23}$ は $17$ 桁で条件を満たさない。）

答え： $n = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$

別解

$a = ⌊ n lo g_{10} 2 ⌋$ 、 $b = ⌊ n lo g_{10} 5 ⌋$ とおくと、 $2^{n}$ の桁数は $a + 1$ 、 $5^{n}$ の桁数は $b + 1$ である。

$lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ であり、 $n lo g_{10} 2$ は整数でない（ $2^{n}$ は $10$ の累乗でない）。よって $a + b = n - 1$ が成り立つ。

条件は $b + 1 = 2 (a + 1)$ 、すなわち $b = 2 a + 1$ 。これを $a + b = n - 1$ に代入すると $3 a + 1 = n - 1$ なので $n = 3 a + 2$ となる。

この $n$ が $a = ⌊ 0.3010 n ⌋$ を満たす条件は
$a \leq 0.3010 (3 a + 2) < a + 1$ 。

左の不等式は $0.903 a + 0.602 \geq a$ より $0.097 a \leq 0.602$ 、よって $a \leq 6.2 \dots$ で、 $a \leq 6$ 。
右の不等式は $0.903 a + 0.602 < a + 1$ より $- 0.398 < 0.097 a$ で、 $a \geq 0$ なら常に成り立つ。

したがって $a = 0, 1, \dots, 6$ で、 $n = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$ 。

検算：
- $n = 2$ ： $4$ は 1 桁、 $25$ は 2 桁で適する。
- $n = 5$ ： $32$ は 2 桁、 $3125$ は 4 桁で適する。
- $n = 20$ ： $2^{20} = 1048576$ は 7 桁、 $5^{20} = 95367431640625$ は 14 桁で適する。
- $n = 23$ ： $2^{23}$ は 7 桁、 $5^{23}$ は 17 桁で $14$ 桁にならず不適。

答え： $n = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$

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