指数関数と対数関数の問題

$x={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ とおく。

まず ${\log }_{10}\frac{5}{6}$ を計算する。${\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}=1-{\log }_{10}2$、${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3$ であるから
$${\log }_{10}\frac{5}{6}=1-2{\log }_{10}2-{\log }_{10}3=1-0.6020-0.4771=-\mathrm{0.0791.}$$
よって ${\log }_{10}x=-0.0791n$ である。

「小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れ、その数字が $1$」であることは
$$1\times 10^{-3}\le x<2\times 10^{-3}$$
と同値である。各辺の常用対数をとると（底 $10>1$ なので不等号の向きは変わらない）
$$-3\le {\log }_{10}x<-3+{\log }_{10}2,$$
すなわち
$$-3\le -0.0791n<-\mathrm{2.6990.}$$
各辺に $-1$ を掛けて
$$2.6990<0.0791n\le 3.$$
したがって
$$\frac{2.6990}{0.0791}<n\le \frac{3}{0.0791}.$$
ここで $\frac{2.6990}{0.0791}=34.12\cdots$、$\frac{3}{0.0791}=37.92\cdots$ である。

確認として、$n=34$ のとき $0.0791\times 34=2.6894$ で $2.6990$ 以下なので不適（${\log }_{10}x=-3+0.3106$ となり、小数第 $3$ 位の数字は $2$）、$n=38$ のとき $0.0791\times 38=3.0058>3$ なので不適（小数第 $4$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる）。

以上より、求める $n$ は $n=35,36,37$ である。

小数第3位に初めて0でない数字1が現れる条件は $10^{-3}\le (5/6{)}^n<2\times 10^{-3}$ である。

常用対数をとると $-3\le n{\log }_{10}\frac{5}{6}<{\log }_{10}2-3$ となる。

${\log }_{10}\frac{5}{6}={\log }_{10}5-{\log }_{10}6=(1-0.3010)-(0.3010+0.4771)=0.6990-0.7781=-0.0791$ である。

よって $-3\le -0.0791n<-2.6990$ すなわち $2.6990<0.0791n\le 3$ である。

$0.0791\times 34=2.6894<2.699$、$0.0791\times 35=2.7685>2.699$ より $n\ge 35$ である。

$0.0791\times 37=2.9267\le 3$、$0.0791\times 38=3.0058>3$ より $n\le 37$ である。

ゆえに $n=35,36,37$ である。

検算として、$n=35$ のとき $10^{-2.7685}=10^{0.2315}\times 10^{-3}\approx 1.70\times 10^{-3}$、$n=37$ のとき $10^{-2.9267}=10^{0.0733}\times 10^{-3}\approx 1.18\times 10^{-3}$ となり、どちらも条件を満たす。