指数関数と対数関数の問題

正の数 $N$ が小数第 $4$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるのは、
$$0.0001\le N<0.001$$
すなわち $10^{-4}\le N<10^{-3}$ のときである。各辺の常用対数をとると
$$-4\le {\log }_{10}N<-3$$
となる。

まず ${\log }_{10}\frac{3}{5}$ を求める。$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{2\cdot 3}{10}$ であるから
$${\log }_{10}\frac{3}{5}={\log }_{10}2+{\log }_{10}3-{\log }_{10}10=0.3010+0.4771-1=-0.2219$$
よって
$${\log }_{10}{\left(\frac{3}{5}\right)}^n=n{\log }_{10}\frac{3}{5}=-0.2219n$$

$N={\left(\frac{3}{5}\right)}^n$ として条件を書くと
$$-4\le -0.2219n<-3$$
各辺を $-0.2219$ で割ると、負の数で割るので不等号の向きが変わり
$$\frac{3}{0.2219}<n\le \frac{4}{0.2219}$$
ここで $\frac{3}{0.2219}=13.51\cdots$, $\frac{4}{0.2219}=18.02\cdots$ であるから
$$13.51\cdots <n\le 18.02\cdots$$
これを満たす正の整数 $n$ は $n=14,15,16,17,18$ である。

（確認：$n=14$ のとき $-0.2219\times 14=-3.1066$、$n=18$ のとき $-0.2219\times 18=-3.9942$ で、どちらも $-4$ 以上 $-3$ 未満。$n=13$ のとき $-2.8847$ となり小数第 $3$ 位になる。）

したがって、求める $n$ の個数は $5$ 個である。

${\left(\frac{3}{5}\right)}^n$ の小数第4位に初めて $0$ でない数字が現れる条件は $10^{-4}\le {\left(\frac{3}{5}\right)}^n<10^{-3}$ である。

各辺の常用対数をとると $-4\le n{\log }_{10}\frac{3}{5}<-3$ となる。

${\log }_{10}\frac{3}{5}={\log }_{10}3-{\log }_{10}5={\log }_{10}3-(1-{\log }_{10}2)=0.4771-0.6990=-0.2219$ である。

よって $-4\le -0.2219n<-3$、すなわち $3<0.2219n\le 4$ となる。

これより $\frac{3}{0.2219}<n\le \frac{4}{0.2219}$、つまり $13.5\dots <n\le 18.0\dots$ である。

検算として端の値を調べる。$n=14$ のとき $0.2219\times 14=3.1066>3$ で条件を満たす。$n=13$ のとき $0.2219\times 13=2.8847<3$ で不適。$n=18$ のとき $0.2219\times 18=3.9942\le 4$ で条件を満たす。$n=19$ のとき $0.2219\times 19=4.2161>4$ で不適。

したがって $n=14,15,16,17,18$ の $5$ 個である。